Родился 9 июля 1959 г. в поселке Сиони Тианетского района, где работал отец. По национальности — грек.
Заметив в нем математические способности, родители определили Манолиса в Тбилисскую физико-математическую школу им. Комарова, которую он окончил в 1976 г. Высшее образование получил в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова: в 1981 г. окончил механико-математический факультет.
В 1981 — 1985 гг. Манолис Келешев находился на практической работе в г. Москве в Главном управлении материально-технического снабжения Министерства электронной промышленности СССР в качестве математика вычислительного центра, а затем инженера специализированного проектно-конструкторского бюро объединения «Москабель» того же министерства.
Последующие 3 года учился в аспирантуре при Центральном ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательском институте строительных конструкций им. В. А. Кучеренко, там же защитил кандидатскую диссертацию на тему «Оценка влияния инерционности упругих несущих связей при расчете пространственных колебаний сооружений на сейсмические воздействия». Опубликовал ряд научных трудов. Им разработана методика определения реакции зданий и сооружений на пространственные воздействия в виде системы твердых тел с инерционными упругими связями. Реализованный на основе этой методики комплекс программ на ЭВМ позволяет выявить реальную картину поведения сооружений при землетрясениях.
В настоящее время Манолис Келешев работает младшим научным сотрудником института «Стройиндустрия». Женат. Владеет грузинским, русским, турецким языками. Изъясняется на английском п французском языках.