История греческой философии в ее связи с наукой — Гайденко П. П. (Часть 1)

Предложенный Вашему вниманию текст является сокращенным вариантом новой редакции книги П. П. Гайденко «Эволюция понятия науки (становление и развитие первых научных программ). — М.: Наука, 1980. Полный вариант данной книги, подготовленной П. П. Гайденко, должен вскоре появиться в продаже.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга, посвященная истории древнегреческой философии, имеет свою специфику: античная философия рассматривается здесь в тесной связи с возникновением и развитием научного знания — математики, космологии, физики. Такой способ рассмотрения продиктован не субъективным предпочтением автора, а вполне объективным обстоятельством: философская мысль, возникающая в конце VI-V вв. до н.э., находится в непосредственном единстве с ранней греческой наукой. Это и понятно, если мы примем во внимание, что на первых этапах своего развития греческая мысль — это главным образом философия природы, и ее волнует прежде всего проблема возникновения и структуры космического бытия, в которое полностью включен человек и которое определяет характер и смысл жизни богов и людей. Вот почему на протяжении того периода, который служит предметом анализа в этой книге, — с конца VI по IV в. до н.э., т.е. от возникновения древнегреческой философии до ее наиболее зрелой и завершенной формы, какую она получила в учении Аристотеля, связь философии с наукой оказывается глубокой и органической, а потому и раскрытие этой связи позволяет более адекватно понять характер и специфику древнегреческой мысли.

До известной степени, пожалуй, можно считать справедливым широко распространенное представление о первоначальной нерасчлененности философского и научного познания, однако лишь до известной степени, ибо, например, такая научная дисциплина, как математика, довольно рано получила у греков относительно самостоятельное развитие, хотя, конечно, и не потеряла своей связи с тем натурфилософским лоном, из которого первоначально вышла. Если бы это было не так, если бы математика не обрела уже в V в. до н.э. свой собственный предмет исследованиє, то мы не получили бы такое классическое наследие античной науки, как «Начала» Евклида, где систематически излагаются достижения греческой математики, которыми она обязана плеяде выдающихся ученых V-IV вв. до н.э.

Излагая учения древнегреческих философов, автор ставил перед собой задачу показать, какие вопросы волновали их и как из стремления решить эти вопросы возникали философские построения, а из неудовлетворенности первоначальными ответами рождались новые проблемы и новые учения. Именно таким образом можно показать логическую связь, проступающую сквозь пестрое разнообразие исторических фактов. А установление этой связи позволяет увидеть то целое, каким является древнегреческая мысль, несмотря на всю кажущуюся несхожесть ее элементов, разноголосицу точек зрения и методологических подходов. Такая целостность в значительной мере обусловлена религиозными, социальными, политическими особенностями, определившими характер древнегреческой культуры. И тем не менее важнейшее содержание философской мысли Древней Греции невозможно вывести ни из своеобразия греческой культуры, ни из духовного склада древних эллинов. Античная мысль потому и не утратила по сей день своей живейшей актуальности, что ее содержание выходит за рамки всякой культурной и исторической ограниченности и непосредственно касается тех проблем, которые волновали людей на протяжении многих веков до нас и продолжают волновать нас сегодня. Раскрыть подлинно общечеловеческое значение тех вопросов, на которые искали ответ древние философы, а также понять смысл находимых ими ответов, смысл, который нередко оказывается скрытым от современного читателя в силу своеобразия того философского языка, на котором изъяснялись греческие мудрецы, — такая задача в первую очередь ставилась автором этой книги.

Автор стремился сделать сложные философские конструкции по возможности более простыми и доступными, а потому надеется, что предлагаемая работа будет полезна всем, кто изучает философию и ее историю.

 

Введение:

ГЕНЕЗИС ФИЛОСОФИИ. МИФОЛОГИЯ И ФИЛОСОФИЯ

У философии — свой особый подход к предмету, отличающий философское мышление как от житейски-практического, так и от естественнонаучного. Подобно тому как математик ставит вопрос, что такое единица, и дает довольно-таки сложное определение этого, казалось бы, простейшего понятия, — так и философ с глубокой древности задается проблемой: что такое бытие? Что значит — быть?

Эта специфика философии проливает известный свет и на вопрос о том, почему и когда философия возникает. В самом деле, размышлять над тем, что в повседневном обиходе кажется само собой понятным, Ч значит усомниться в правомерности и достаточности повседневного подхода к вещам. А это в свою очередь означает сомнение в общепринятом, в традиционном типе знания и поведения.

Когда и почему такое сомнение становится возможным? Видимо, тогда, когда в общественной жизни и в общественном сознании возникают серьезные противоречия и конфликты, которые не поддаются разрешению с помощью традиционных убеждений и верований, связанных с греческой мифологией. Тут и появляется потребность различения того, что общепринято (мнение), и того, что истинно на самом деле (знание). Это различение рождается вместе с философией, и не удивительно, что философия с самого начала выступает как критика обычая, обычного права, обыденного сознания, традиционных норм нравственности и традиционных ценностей.

Самые первые греческие философы выступили как критики традиционной греческой мифологии, прежде всего Гомера, обвиняя мифологию в логической непоследовательности и безнравственности.

Но было бы опрометчивым на этом основании заключить, что философ, выступая как критик, полностью порывает с культурной традицией, с нравами и обычаями той социальной общности, к которой сам принадлежит, и создает учение как бы из «ничего», на новом «голом» месте.

Весь драматизм истории философии — а историческая судьба философов нередко драматична, подчас даже глубоко трагична — коренится в отношении философа к традиции — религиозной и нравственной, культурной и художественной, политически-правовой, наконец, к традиционным формам быта и образа жизни. С одной стороны, философ ставит все это под вопрос — но делает это для того, чтобы докопаться до подлинных корней, из которых растет сама эта традиция; в этом и состоит смысл его вопроса: что значит быть? Что такое «бытие»? А ухватившись за этот корень, ответив на этот главный вопрос и начиная положительное строительство, философ в той или иной форме, в той или иной мере опирается опять-таки на те представления, которые он сам впитал с молоком матери, с обычаями и нравами своего народа.

Но и тут имеет место неоднозначность. Все эти моменты определяют учение философа либо положительно, либо отрицательно, а чаще всего одно — положительно, другое — отрицательно: какие-то из традиционных жизненных ориентиров философ поддерживает, углубляет и обосновывает; другие — изменяет, корректирует; третьи — отбрасывает как вредные заблуждения и предрассудки. Но все это тем не менее — разные формы зависимости мышления философа от родной ему культуры.

Итак, существует напряжение между философским мышлением и традиционными формами знания и верования, отталкивание и в то же время осмысление. У одних философов преобладает первый момент, и тогда они выступают как разрушители традиции, у других — второй момент, и они стремятся обновить традиционные нормы, дав им новое обоснование.

Философия, таким образом, с самого начала глубоко укоренена в жизненном мире человека; и какими бы отвлеченными ни представлялись рассуждения философов, они не случайно всегда завершаются учением о том, как следует человеку жить, в чем смысл и оправдание его деятельности. Не случайно — потому что с этих жизненно-непреложных вопросов, в сущности, и начинается философское размышление.

Естественно, однако, возникает вопрос: какая общественная ситуация, какие сдвиги в культуре способствуют появлению философии? В античной Греции философия формируется в тот период, когда смысл человеческой жизни, ее привычный строй и порядок оказываются под угрозой. И не только возникновение, но и расцвет философии в те или иные исторические периоды, как правило, обусловлен глубоким социальным кризисом, когда человеку становится трудно, а подчас и невозможно жить по старым образцам, когда прежние ценности теряют свое значение и остро встает вопрос: как быть дальше?

Что касается генезиса философии в Древней Греции, то она формируется в тот период (VI в. до н.э.), когда прежние традиционно-мифологические представления античного общества обнаруживают свою недостаточность, перестают выполнять свою мировоззренческую функцию.

Тут необходимо дать краткую характеристику древней языческой мифологии. Античная мифология глубоко родственна искусству; не случайно греческие мифы донесли до нас поэты, и прежде всего великий художник древности — Гомер. По самому существу своему мифология греков — создание воображения: именно с помощью воображения древнегреческое сознание пыталось открыть тайны мироздания. А у воображения свои законы, отличные от тех, какими руководится разум; греческие мифы прекрасны, пластичны, но при этом лишены той однозначности, доказательности и непреложности, какая свойственна науке или сфере нравственности. В них всегда присутствует элемент игры, поэтому древний грек и верит, и не верит в свои мифы, — он относится к ним всегда немножко эстетически. Это вовсе не значит, что в мифе не заключено подчас глубокое содержание: как во всяком продукте воображения, в нем запечатлен опыт человеческой жизни; но этот опыт явлен не в назидательной, характерной для морального сознания форме, а в качестве иносказания, живо и художественно. Однако от произведения искусства в более позднем смысле миф все же отличается: он возник в эпоху, когда еще не было жесткого отделения художественного вымысла именно как вымысла от реальной действительности: боги и духи предков, дриады и сильфиды, духи гор и ручьев — это не чистые вымыслы; просто вопрос об их реальности не встает: в них, пожалуй, и верят, даже исполняют обряды, приносят богам жертвы, но без напряжения и серьезности, без особых нравственных обязательств по отношению к ним. В этом — эстетический характер языческой мифологии. Греческая религия — это политеизм, или многобожие; боги — антропоморфные существа, могучие и бессмертные, но власть их над миром не безгранична: сами боги, как и люди, подчиняются судьбе; последняя есть слепая и грозная, неотвратимая сила, уклониться от которой не дано никому. Таким образом, греческие боги не отделены от людей непроходимой пропастью: они, как и люди, обуреваемы страстями, могут быть как доброжелательными, так и коварными, враждуют и ссорятся между собой, заключают союзы, влюбляются друг в друга и в смертных, плетут интриги, в которые нередко втягивают и людей. Греческий историк Геродот рассказывает, что всякое божество завистливо и непостоянно, оно стоит на страже общего уровня и низвергает того, кто слишком возвысился над этим уровнем — идея, глубоко укорененная в древнегреческом сознании. Боги блюдут справедливость и стоят на страже всех принятых в обществе установлений. Так, например, богини мщения Эриннии карают за клятвопреступления, за преступления против семьи, за обиду, нанесенную нищим, и т.д.

Кризис мифологического сознания был вызван рядом причин. Главную роль здесь сыграло экономическое развитие Греции, экономический подъем IX-VII вв. до н.э.: расширение торговли и судоходства, возникновение и расширение греческих колоний, увеличение богатства и его перераспределение, рост народонаселения и прилив его в города. Некоторые исследователи считают, что по отношению к этому периоду можно говорить даже о демографическом взрыве, который, быть может, был вызван усовершенствованием старых форм земледелия и ремесла благодаря выплавке железа, начавшейся около Х в. до н.э. Использование железа в сельском хозяйстве содействовало повышению производительности труда. Существует даже точка зрения, что формирование греческого общественного устройства в виде самостоятельных городов-государств — полисов — является непосредственным результатом распространения железа; здесь, однако, видимо, слишком преувеличена роль технических открытий в развитии социальных форм жизни древних народов.

В результате расширения торговли, мореходства, колонизации новых земель расширился географический горизонт греков. Средиземное море стало известным до Гибралтара, куда достигали ионийские торговые суда, а тем самым гомеровское представление о вселенной обнаружило свою неадекватность. Но самым важным, пожалуй, было расширение связей и контактов с другими народами, открытие прежде незнакомых грекам обычаев, нравов и верований, которое естественно наводило на мысль об относительности, условности их собственных социальных и политических установлений. Эти факторы способствовали социальному расслоению и разрушению прежних форм жизни, порождали классовые антагонизмы и политическое напряжение, вели к кризису традиционного уклада и к утрате прочных нравственных ориентиров.

Так, например, греческий поэт VII в. до н.э. Архилох демонстративно заявляет, что он не откажется от празднеств и наслаждений из-за гибели близкого человека, к тому же оставшегося без погребения; в другом месте он не без вызова рассказывает, как ради сохранения жизни бросил в сражении оружие; Архилох презирает посмертную славу, которую превыше всего ставили греки архаической эпохи. Все это — формы восстания против традиции.

В Греции в VI в. до н.э. происходит постепенное разложение традиционного типа социальности, предполагавшего более или менее жестокое разделение сословий, каждое из которых имело свой веками устоявшийся уклад жизни и передавало как этот уклад, так и свои навыки и умения из поколения в поколение. В качестве той формы знания, которая была общей для всех сословий, выступала мифология; и хотя каждая местность имела своих собственных богов, по характеру своему и способу отношения к человеку эти боги принципиально друг от друга не отличались: это были природные боги, олицетворение природно-космических сил.

В традиционных обществах передача и усвоение знаний и умений происходит преимущественно «по вертикали», от отца к сыну. Не случайно сын, как правило, наследует ремесло отца, а вместе с ним — и секреты ремесла, и жизненно-бытовой уклад, и ценностные установки. Авторитет отца в семье — незыблемая основа традиционного уклада. Циркуляция знания от сословия к сословию, т.е. «по горизонтали», еще весьма незначительна. В соответствии с этим и сознание человека еще не вполне индивидуально; человек мыслит себя не столько как нечто самостоятельное, сколько в категориях своего сословия, своей социальной общности, затем — своего народа, своей религии.

Понятно, что социально-экономические изменения, происходившие в VII-VI вв. до н.э., вели к разрушению сложившихся форм связи между людьми и требовали от индивида выработки новой жизненной позиции. Философия и была одним из ответов на это требование. Она предлагала человеку новый тип самоопределения: не через привычку и традицию, а через собственный разум. Философ говорил своему ученику: не принимай все на веру, думай сам. На место обычаев приходило образование, место отца в воспитании занимал учитель, а тем самым и власть отца в семье становилась под вопрос. Функции отца и учителя, таким образом, расщепились, и на протяжении нескольких веков — с VII по IV — мы видим жестокую схватку между родом и духом, началами, которые прежде выступали как нечто единое.

Схватка эта, впрочем, протекала в разных формах. Ее первый этап был изображен в греческой трагедии. Нравственность, выросшая на почве родовых отношений, вступает в конфликт не просто с частным интересом отдельного лица. Между собой сталкиваются, с одной стороны, родовая, семейная нравственность, которая представляет всеобщее начало, но данное в его природной непосредственности, а с другой Ч новый нарождающийся тип всеобщего, по отношению к которому отдельный род, семья выступает как нечто частное: это — государство, все граждане которого составляют правовое и политическое целое.

Такое столкновение мы видим в трагедиях Эсхила «Ифигения в Авлиде», «Агамемнон» и «Эвмениды» (VI в. до н.э.). Микенский царь Агамемнон приносит в жертву богам свою дочь Ифигению ради успеха греческого войска в походе против троянцев, тем самым подчиняя всеобщим интересам жизнь своего собственного рода. Жена Агамемнона, Клитемнестра, защищает родовую нравственность и убивает мужа, возвратившегося из похода победителем. Сын Агамемнона и Клитемнестры, Орест, чтит свою мать, но по закону он должен защищать права отца. И Орест мстит за смерть отца, совершая убийство матери.

Аналогичный конфликт изображает Софокл в трагедии «Антигона» (V в. до н.э.). Брат Антигоны, Полиник, совершил тяжкое преступление против своего народа, пойдя войной на родной город Фивы. Глава государства, Креонт, решает предать поруганию тело убитого Полиника: он угрожает смертной казнью тому, кто посмеет предать земле тело преступника. Антигона предпочитает пойти на смерть, но схоронить брата и тем снять с него бесчестье: родовые узы для нее священны.

Здесь еще не обсуждается дилемма «отецЧучитель», о которой мы говорили выше. Она достигает своей максимальной остроты несколько позже, в эпоху так называемого греческого Просвещения (V в. до н.э.), когда фигура учителя-софиста приобретает важное значение в социальной и политической жизни греческих полисов. Трагическая кульминация этой дилеммы — смерть афинского философа Сократа, о которой у нас пойдет речь ниже.

Подытоживая сказанное, мы можем сделать вывод, что философия с самого начала выполняет как мировоззренческую, так и теоретическую функцию. Она возникает в момент кризиса традиционного уклада жизни и традиционных ценностей. С одной стороны, философия выступает как критика традиции, углубляющая сомнение в значимости устоявшихся веками форм жизни и верований, а с другой Ч пытается найти фундамент, на котором можно было бы возвести новое здание, новый тип культуры. Фундамент же должен быть врыт как можно глубже; поэтому греческая философия и ставит вопрос всех вопросов: что такое бытие? Решая теоретическую проблему, она тем самым ищет пути преодоления мировоззренческого кризиса.

Спецификой греческой философии, особенно в начальный период ее развития, является стремление понять сущность природы, космоса, мира в целом. Первые греческие философы — Фалес, Анаксимандр, Анаксимен, несколько позднее — пифагорейцы, Гераклит, Эмпедокл и другие — размышляют о происхождении мира, его строении, пытаются постигнуть его начала и причины. Не случайно их так и называли — «физиками», от греческого слова «фюсис» — природа. Направленность интереса ранних греческих мыслителей определялась в первую очередь характером древнегреческой мифологии, традиционных языческих верований и культов. А греческая мифология была религией природы, и одним из важнейших вопросов в ней был вопрос о происхождении мира. Существенное различие между мифологией и философией состояло, однако, в том, что миф повествовал, кто родил все сущее, а философ спрашивал, из чего оно произошло. Гомер в «Илиаде» рассказывает о рождении богов от Океана и Тефиды; в других вариантах мифа у истоков всего сущего стоят Царица Ночь, Мать Земля, подземная река Стикс. В «Теогонии» Гесиода читаем, что раньше всего возник Хаос, затем Земля, Тартар (подземное царство) и Эрос — любовное влечение. Хаос породил Ночь и Мрак, от их любовного союза возникли День и Эфир. Нет надобности детально входить в содержание теогонических мифов, чтобы видеть, что вопрос о возникновении мира — традиционный для древнегреческого сознания. Традиционно и его решение: первое начало мыслитсє как Хаос (бездна), Мрак, Ночь, первобытный океан и т.д.

Поэтому не удивительно, что и ранние греческие философы ищут некое первоначало, фюсис, из которого все произошло: у Фалеса это — вода, у Анаксимена — воздух, у Гераклита — огонь, у Анаксимандра — «беспредельное», которое, судя по всему, мыслилось и как «стихия», и как некоторое первовещество.

Как видим, философское мышление по возможности ищет рациональные (или представляющиеся таковыми) объяснения происхождения мира и его сущности, отказываясь (хотя в начале и не полностью) от характерных для мифологии персонификаций, а тем самым от образа «порождения». На место «порождения» становится «причина», которая постепенно, ко времени Аристотеля, расщепляется на четыре разных вида причин. У Гесиода говорится просто: Хаос родил Мрак, Земля и Небо родили богов и т.д. Аристотель же расщепляет этот акт, вводя четыре причины любой вещи: 1) кто родил? — действующая причина (отец); 2) зачем родил? — целевая причина; 3) из чего родил? — материальная причина (мать); 4) по образцу чего родил? — формальная причина (отцовский род, генетический код отца).

Однако рационализация вступает в свои права постепенно: первоначально природа понимается как начало живое и творящее; само слово «фюсис» происходит от глагола «juw», что значит «рождать», «взращивать». Еще у Фалеса все полно богов, демонов и душ; мир — живое целое, и души в нем — не что-то внешнее, а его органические порождения. Тут опять-таки видны следы языческой мифологии с ее бесчисленными духами гор и полей, лесов, рек и морей, источников и ручьев, которые, с одной стороны, отождествлялись с силами природы, а с другой Ч персонифицировались и представлялись в виде русалок, леших, демонов, оборотней и т.д., стоящих над природой и управляющих ею. Само «первоначало» — вода, воздух, огонь — представляло собой не просто вещество, как его понимает современная физика или химия, а нечто такое, из чего возникает живая природа и все населяющие ее одушевленные существа. Поэтому вода и огонь здесь — это своего рода метафоры, они имеют и прямое, и переносное, символическое значение. Так, например, для греческих натурфилософов характерен вопрос: чем мы мыслим — кровью, воздухом или огнем? Разумеется, говоря о том, что мы мыслим, допустим, огнем, натурфилософ хотел показать, что из всех природных стихий огонь — самая легкая и подвижная, «живая», и в этом его сходство с мышлением: ведь наша мысль не знает пространственных границ и в мгновение может достигать самых отдаленных предметов. Но ведь это — метафора, аналогия, а не логическое понятие. А всякая метафора фиксирует только одну сторону явления, и потому любое явление можно описать с помощью бесчисленного множества метафор, поскольку оно имеет бесчисленное множество сторон. Далее, метафорическое мышление не может быть доказывающим. Натурфилософ может скорее показать, чем доказать. Так, когда Фалес говорил, что все из воды, он мог в качестве аргумента лишь указать на живые существа, которые не могут существовать без влаги.

Уже у первых «физиков» философия мыслится как наука о причинах и началах всего сущего. И хотя в качестве начала каждый из них предлагает свое, однако само требование восходить к началам и из них объяснять устройство космоса, человека, познания — это требование в основном сохраняется у большинства греческих мыслителей.

В этом подходе сказалась специфика древнегреческой философии, ее интерес к проблемам онтологии. Ее центральный мотив — выяснить, что действительно есть, т.е. пребывает неизменным во всех своих изменчивых формах, а что только кажется существующим.

Освобождение от метафоричности мышления, характерной для ранних натурфилософов, предполагало переход от знания, обремененного чувственными образами, к знанию, оперирующему понятиями. Этот переход осуществляется постепенно. Один из этапов здесь — учение пифагорейцев, последователей Пифагора, жившего во второй половине VI-V в. до н.э.

Первоначальное пифагорейство возникло как религиозная община, созданная ее основателем — Пифагором — с целью спасения души; однако в отличие от других религиозных общин-орфиков, позднее — христиан, пифагорейское братство одно из важнейших средств спасения — наряду с аскетической и ритуальной практикой — видело в научно-теоретической деятельности. В результате занятие науками, особенно математикой, получило нравственно-религиозный ореол, какого оно ранее не имело ни на Древнем Востоке, ни в самой Элладе. Видимо, это обстоятельство сыграло немаловажную роль в становлении математики как теоретической науки, а такой она стала именно в Древней Греции, и значение пифагорейской школы в этом процессе становления греческой математики трудно переоценить.

 

 

Глава первая

ПИФАГОРЕИЗМ И ИСТОКИ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ

Отличие древнегреческой математики от математики Древнего Востока

Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку, какой мы находим ее в «Началах» Евклида, впервые возникли в Древней Греции. Особенно важную роль в формировании древнегреческой математики сыграла пифагорейская школа. Однако может возникнуть вопрос: почему, исследуя, когда и как возникла математика как наука, мы обращаемся к древнегреческим мыслителям, в то время как уже до греков, в Вавилоне и Египте, существовала математика и, стало быть, здесь и следует искать ее истоки?

Действительно, математика возникла на Древнем Востоке, по-видимому, задолго до греков. Но особенностью древнеегипетской и вавилонской математики было отсутствие в ней (за исключением отдельных элементов) единой системы доказательств, которая впервые появляется именно у греков. «Большое различие между греческой и древневосточной наукой, — пишет венгерский историк науки Арпад Сабо, — состоит именно в том, что греческая математика представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу». Древневосточная математика представляет собой совокупность определенных правил вычисления; то обстоятельство, что древние египтяне и вавилоняне могли осуществлять весьма сложные вычислительные операции, ничего не меняет в общем характере их математики.

Эти особенности древневосточной математики объясняются тем, что она носила практически-прикладной характер; с помощью арифметики египетские писцы решали задачи «о расчете заработной платы, о хлебе или пиве и т.д.», а с помощью геометрии вычисляли площади или объемы. «…В обоих случаях вычислитель должен был знать правила, по которым следовало производить вычисление. Но что касается систематического вывода правил для этих расчетов, то о них нет речи, да и не может идти, ибо часто (как, например, при определении площади круга) употребляются только приближенные формулы».

Поскольку древневосточная математика носила практический характер, она не проводила существенного различия между вычислением количества зерна, числа кирпичей или размера площади, т.е. между решением задач, которые впоследствии разделялись бы на арифметические и геометрические. «Центральной задачей математики на ранней стадии ее развития, — пишет Нейгебауэр, — является численное нахождение решения, удовлетворяющего некоторым условиям. На этом уровне нет существенного различия между делением суммы денег согласно определенным правилам или делением поля данного размера на, скажем, участки равной площади. Во всех случаях нужно соблюдать внешние условия, в одном случае условия наследования, в другом — правила для определения площади, или отношения между мерами, или установившиеся нормы оплаты работников. Математическая ценность задачи состоит в ее арифметическом решении, «геометрия» является лишь одним из многих объектов практической жизни, к которым можно применить арифметические методы». В этом отношении характерны специальные тексты, предназначенные для писцов, занимавшихся решением математических задач. Писцы должны были знать все численные «коэффициенты», нужные им для вычислений. В списках «коэффициентов» содержатся «коэффициенты» для «кирпичей», для «стен», затем для «треугольника», для «сегмента круга», далее для «меди», «серебра», «золота», для «грузового судна», «ячменя», для «диагонали», «резки тростника» и т.д.

В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической системой математики: греки впервые стали строго выводить одни математические положения из других, т.е. ввели в математику доказательство. «Отдельные математические теории, — пишет историк математики И.Г. Башмакова, — строятся как системы, основанные на доказательстве. Доказательство, система доказательств играют в нашей науке особую роль. Ведь большинство высказываний математики относится к бесконечному множеству объектов. Так, положение о том, что сумма углов треугольника равна 2d, не может быть установлено никаким конечным числом проверок: во-первых, потому, что треугольников бесконечно много и, во-вторых, каждое практическое измерение производится только с некоторой определенной степенью точности. Без доказательства никогда не могла бы быть открыта несоизмеримость величин, а без этого не существовало бы важнейших разделов современной математики. Можно сказать, что математика как наука стала существовать только после систематического введения в нее доказательств» (курсив мой. — П.Г.). Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с философией. Этот союз определил характер не только древнегреческой математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как пифагорейство, платонизм, а позднее — неоплатонизм. Не случайно время возникновения философии — конец VI-V вв. до н.э. совпадает с периодом становления теоретической математики.

Надо отметить, что в Древней Греции так же, как и в Вавилоне и Египте, разрабатывалась техника вычислений, без которой невозможно было решать практические задачи строительства, военного дела, торговли, мореходства и т.д. Но важно иметь в виду, что сами греки называли приемы вычислительной арифметики и алгебры логистикой (logistika — счетное искусство, техника счисления) и отличали логистику как искусство вычисления от теоретической математики. Правила вычислений, стало быть, разрабатывались в Греции точно так же, как и на Востоке, и, конечно, греки при этом могли заимствовать очень многое как у египтян, так и в особенности у вавилонян.

О логистике греков, как и о математических вычислениях на Востоке, можно сказать, что она носила практически-прикладной характер. «В состав логистики входили: счет, арифметические действия с целыми числами вплоть до извлечения квадратных и кубических корней, действия на счетном приборе — абаке, операции с дробями и приемы численного решения задач на уравнения первой и второй степени. В логистике рассматривались также приложения арифметики к землемерию и иным задачам повседневной жизни. Сами греки отличали логистику от теоретической арифметики, которую они называли просто арифметикой. Правила логистики излагались догматически и, вообще говоря, не снабжались доказательствами так же, как это было принято в египетских папирусах» (курсив мой. — П.Г.).

Таким образом, в Греции имела место как практически-прикладная математика (искусство счисления), сходная с египетской и вавилонской, так и теоретическая математика, предполагавшая систематическую связь математических высказываний, строгий переход от одного предложения к другому с помощью доказательства. Именно математика как систематическая теория была впервые создана в Греции.

Сравнивая греческую математику с древнеегипетской, голландский историк математики ван дер Варден указывает на ту границу, которая проходит между греками и их восточными предшественниками: «Достоверно, что египетский способ умножения и вычисления с основными дробями греки получили от египтян, а затем развили его до той степени, какую показывает нам Ахмимский папирус эллинистической эпохи. Но вычисление — это еще не математика.

Точно так же греки могли заимствовать у египтян правила вычисления площадей и объемов. Однако такие правила до греков еще не составляли математики; именно они поставили вопрос: как это доказать?»

Надо полагать, что становление математики как систематической теории, какой мы ее находим в евклидовых «Началах», представляло собой длительный процесс: от первых греческих математиков (конец VI-V в. до н.э.) до III в. до н.э., когда были написаны «Начала», прошло более двухсот лет бурного развития греческой науки. Однако уже у ранних пифагорейцев, т.е. на первых этапах становления греческой математики, мы можем обнаружить такие специфические особенности, которые принципиально отличают их подход к математике от древневосточного.

Прежде всего такой особенностью является новое понимание смысла и цели математического знания, иное понимание числа: с помощью числа пифагорейцы не просто решают практические задачи, а хотят объяснить природу всего сущего. Они стремятся поэтому постигнуть сущность чисел и числовых отношений, ибо через нее надеются понять сущность мироздания. Так возникает первая в истории попытка осмыслить число как миросозидающий и смыслообразующий элемент.

То, что у вавилонян и египтян выступало всего лишь как средство, пифагорейцы превратили в специальный предмет исследования, т.е. в цель последнего.

Проблема пифагореизма в научной литературе

Пифагореизм имел свою длительную историю — от основателя школы, полулегендарного Пифагора, младшего современника Фалеса Милетского (VI в. до н.э.), до неопифагореизма эпохи эллинизма (I в. до н.э.-III в. н.э.). Мы не будем входить во все детали развития пифагореизма, поскольку здесь возникает очень много сложных проблем и существует обширная специальная литература. Одной из причин, осложняющей анализ пифагорейской философии и науки в ранний период ее развития, является то обстоятельство, что пифагореизм первоначально существовал как религиозный орден, учения которого должны были оставаться тайной для непосвященных. Разглашение этих учений запрещалось10. Другой причиной, затрудняющей отнесение тех или иных научных открытий к определенному периоду, была характерная для пифагорейцев традиция приписывать эти открытия Пифагору. Тем самым, с одной стороны, открытия как бы освящались его именем11, а с другой — эта традиция служила в глазах пифагорейцев препятствием для честолюбивых помыслов, несовместимых со служением истине.

Эти и ряд других обстоятельств затрудняют анализ истории пифагорейства, поэтому до сих пор исследователи не могут разрешить многие важные вопросы, касающиеся философии и математики пифагорейцев. А.О. Маковельский в свое время предложил следующую периодизацию древнего пифагореизма: «Первый период от основания пифагорейского союза в 531 г. до разгрома школы около 500 г. обнимает деятельность самого Пифагора и пифагорейцев VI в.: главы акусматиков Гиппаса, врача Демодока, Петрона, Брентина и других. Второй период — с 500 г. до образования главной системы научного пифагореизма, которая сложилась в середине V в. Главная система слагалась постепенно при сотрудничестве многих лиц… В третий период главная система научного пифагореизма завершается у Филолая, который фиксирует ее в письменной форме и опубликовывает; около того же времени появляется сочинение Иона Хиосского «Триагм». Четвертый период — пифагорейцы в изгнании, последняя треть пятого века. Второй разгром пифагорейской школы имел место, по Эд. Целлеру, в 440-430 гг., оставшиеся в живых пифагорейцы были вынуждены бежать из Италии; в числе этих беженцев называют Филолая, Лисиса, бывшего позже в Фивах учителем Эпаминонда, и других. Пятый период — пифагореизм IV века; сюда относится деятельность преемника Филолая Эврита и его учеников — тех пяти мужей, которых Аристоксен называет «последними пифагорейцами»; это — учитель Аристоксена Ксенофил, Фантон, Эхекрат, Диокл и Полимнаст. На первую половину IV века падает также деятельность Архита Тарентинского, последнего значительного пифагорейца»12 .

Пифагорейцы занимались не одной лишь математикой, к которой в античности относили, кроме арифметики, геометрии и стереометрии, также астрономию, акустику, гармонику (теорию музыки). Среди них были также врачи, как Алкмеон из Кротоны, ботаники, как Менестор из Сибариса, эмпирики-естествоиспытатели, как Гиппон из Самоса; ранние пифагорейцы, в том числе сам Пифагор, Филолай и многие другие, занимались космологией.

В этом смысле ранние пифагорейцы имеют много общего с так называемыми физиками, или натурфилософами-ионийцами: Фалесом, Анаксимандром, Анаксименом, Гераклитом. Но то обстоятельство, что многие из них занимались прежде всего математическими науками, что в центре их внимания было понятие числа и они размышляли о его сущности, оказало в конце концов решающее влияние на развитие философских и научных воззрений школы.

История развития пифагореизма интересна потому, что в разные периоды (с VI по IV в. до н.э.) осмысление природы числа и числовых отношений происходило, видимо, по-разному. В соответствии с этим менялись и развивались также представления о методах математики и науки в целом.

К концу XIX-началу ХХ в. сложилась тенденция резко отделять ранний пифагореизм (VI — первая половина V в. до н.э.) от более позднего (конец V-IV в. до н.э.). При этом аргументация исследователей шла по двум направлениям. Так, немецкий философ В. Виндельбанд отмечал недостаточность достоверных свидетельств о первых пифагорейцах, чего, конечно, не приходится отрицать; исходя из этого, он считал, что рассмотрение учения пифагорейцев следует начинать с работ Филолая. Другой аргумент выдвигали такие исследователи, как В. Дёринг, а позднее Э. Франк. Согласно Дёрингу, первоначально пифагореизм был только религиозно-нравственным учением, в центре которого стоял вопрос о спасении души. Собственно научных, в том числе и математических, изысканий в этот период не было. Только позднее, уже после того, как мистический дух пифагореизма несколько ослабел, в пифагорейской школе возникли научные интересы. Эти интересы, по Дёрингу, вышли на первый план только тогда, когда пифагорейцы отказались от учения о переселении душ и всецело отдались научным исследованиям13 .

Такие же приблизительно аргументы выдвигает и Э. Франк в своем фундаментальном труде «Платон и так называемые пифагорейцы». Насколько важными для дальнейшего развития естествознания, согласно Франку, были математические и астрономические открытия пифагорейцев IV в. до н.э., главным образом Архита и его учеников, настолько же мало можно сообщить о ранних пифагорейцах. Приписываемые Пифагору открытия в области математики, по мнению Франка, были на самом деле сделаны именно в IV в. теми учеными, которых Аристотель именует «так называемыми пифагорейцами»14 . Хотя Франк главным образом ссылается на недостаточно достоверные свидетельства о ранних пифагорейцах, считая, что не только Пифагору, но и Филолаю приписывается многое из открытого «кружком Архита», но, по-видимому, не только эти соображения привели его к мысли так резко отделить два названных этапа15.

Франк стремился показать, что греческая математика и астрономия в IV в. до н.э. уже разработали те методы и сделали те открытия, которые определили собой весь дальнейший путь развития науки. Доказывая этот тезис, Франк хотел по возможности отделить пифагорейскую научную мысль от тех еще донаучных спекуляций, которые, по его мнению, характерны для ранних пифагорейцев.

Отнюдь не оспаривая того факта, что математики-пифагорейцы IV в. значительно отличались от первых представителей пифагорейства, мы в то же время считаем неправомерным заходить в этом разделении слишком далеко16. И не только потому, что это противоречило бы большей части свидетельств, согласно которым принцип «все есть число» разделялся и ранними, и более поздними представителями пифагорейской школы. Важнее другое: именно то обстоятельство, что ранние пифагорейцы воспринимали число как начало устроения — и соответственно познания мира, а в исследовании числовых отношений видели такое же средство спасения души, как и в религиозных ритуалах, — именно это обстоятельство сыграло важную роль в превращении математики в науку, научную систему, какой она не была раньше. После того как математическое знание приобрело строгую форму системы положений, основанных на доказательстве, какими мы их видим в «Началах» Евклида, первые шаги математического мышления, связанные с не вполне ясными мифологическими ассоциациями по поводу числовых отношений, естественно воспринимаются как нечто больше ненужное, как лишний балласт, осложняющий и затемняющий теперь уже выявленное существо дела. Но для историка науки, исследующего процесс рождения математической теории, это выглядит совсем не так однозначно.

Надо отметить, что среди современных историков античной науки и философии многие уже не склонны так резко отделять ранний пифагореизм как чисто религиозное учение от позднейшего, как это делали Дёринг и особенно Франк. Так, У.К. Гатри, автор многотомного исследования по античной философии, подчеркивает, что в пифагорейском учении невозможно отделить друг от друга религиозную и философско-научную стороны, поскольку у пифагорейцев «математика была религиозным занятием, а декада — священным символом»17. К. де Фогель в специальной работе, посвященной раннему пифагореизму, также указывает, что уже во времена Пифагора научным исследованиям уделялось много внимания18. Г. Юнге в статье, посвященной вопросу об открытии иррациональности, обращается к раннепифагорейской истории, показывая, что с самого начала существования этого религиозного союза в нем велись математические исследования, в частности исследование пентаграммы, в ходе которого, как предполагает Юнге, и была открыта иррациональность19.

Понимание числа у ранних пифагорейцев

С самого начала существования религиозного ордена, учрежденного Пифагором, в нем ставились практически-нравственные и религиозные цели Ч очищение человеческой души для спасения ее от круговорота рождений и смертей. Поэтому существовал целый ряд строгих предписаний, регламентировавших жизнь членов ордена. Одним из важнейших средств очищения пифагорейцы считали научные занятия, прежде всего занятия математикой и музыкой. Как отмечает А.О. Маковельский, «вера в религиозно-катартическое действие науки дала силы Пифагору положить основание чистой математики»20.

Действительно, именно в Греции мы наблюдаем изменение роли математического знания по сравнению с той, какую оно играло в Египте и Вавилоне. Там математика, как уже отмечалось, носила практически-прикладной характер, она была техникой расчета, решения задач. При характерном для древнего мира делении всех сфер жизни на сакральные и профанные (священные и светские) математика принадлежала ко второй. Без ее помощи не могли обойтись землемеры и купцы, строители и мореходы, но она не имела непосредственного отношения к мифологическим представлениям и религиозным культам. Но это не противоречит тому известному факту, что некоторым числам в древнем мире придавалось сакрально-мифологическое значение; к ним относится, например, число пять в Древнем Китае или число семь, игравшее важную роль в религиозно-мифологических и магических представлениях вавилонян и египтян более чем за два тысячелетия до н.э. Вот что пишет американская исследовательница Л. Торндайк, анализируя сакральное значение семерки в Древней Вавилонии: «В древневавилонском эпосе о сотворении мира, например, семь духов бури, семь злых болезней, семь областей подземного мира, закрытых семью дверями, семь поясов надземного мира и неба и т.д. …Число семь было очень распространено, носило священный и мистический характер, считалось совершенным и обладающим особой силой»21. Число семь считалось сакральным не только у вавилонян, но и у древних евреев и греков: в Ветхом Завете, у Гесиода и Гомера семерка выступает как священное число. Как мы увидим далее, ранним греческим философам, и особенно пифагорейцам, отнюдь не было чуждо выделение сакральных чисел, к которым, кроме семерки, относили также тройку, а позднее — десятку (декаду). Но не само это выделение священного числа и не перечисление различных «семериц» или «декад» из разных областей природной жизни или человеческих установлений составляли главное направление развития пифагорейской мысли.

Что же касается древних восточных культур, то в них математическое исчисление, носившее практически-прикладной характер, не было внутренне связано с выделением священных чисел — семерок, пятерок или троек. Священное число выступало вовсе не как математическая реалия — к нему обращались скорее либо в магических заклинаниях, где перечислялись различные «семерицы» или практиковались тройные, семеричные и т.д. ритуальные повторы, либо в других ритуальных культовых действиях. Подбирались и перечислялись группы явлений или процессов, которые представали как воплощение «семериц» и «троек», и эта процедура тоже представляла собой одну из древних форм упорядочения и классификации явлений, подобно тому как в племенах первобытных народов упорядочение производится, например, по странам света, которым соответствуют определенные цвета (черный, белый, красный и желтый), виды животных и т.д. Таким образом, ни развитие математической техники счета и решения задач, принадлежавшее сфере хозяйственно-практической, ни выделение священных чисел, имевшее ритуальное, культовое и мифологическое значение, не привело на Древнем Востоке к возникновению математики как системы теоретического знания.

Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения они стали рассматривать как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что «книга природы написана на языке математики», как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.

Для представлений о науке, как они сложились к XVIIЧXVIII вв., особенно у философов эпохи Просвещения, характерно убеждение в том, что наука по своему существу противоположна религии. Это представление отражает тот период в развитии науки, когда ученым приходилось вести борьбу с религией за возможность свободного научного исследования. Но применительно к другим периодам развития науки это представление оказывается не всегда справедливым. Исторически научное знание вступало в самые различные — и порой весьма неожиданные — отношения с мифологической, религиозной и художественной формами сознания22. Так, перемещение математических исследований из сферы практически-прикладной в сферу философско-теоретическую, еще не отделившуюся от религиозно-мистического восприятия мира, послужило тем историческим фактором, благодаря которому математика превратилась в теоретическую науку.

Нет ничего удивительного в том, что мыслители, впервые попытавшиеся не просто технически оперировать с числами (т.е. вычислять), но понять саму сущность числа, сущность множества и характер отношений различных множеств друг к другу, решали эту задачу первоначально в форме объяснения всей структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Прежде чем появилась математика как теоретическая система, возникло учение о числе как некотором божественном начале мира, и это, казалось бы, не математическое, а философско-теоретическое учение сыграло роль посредника между древней восточной математикой как собранием образцов для решения отдельных практических задач и древнегреческой математикой как системой положений, строго связанных между собой с помощью доказательства. Вот почему нам кажется неправомерной попытка некоторых историков науки принципиально отделить пифагорейских математиков эпохи Платона от ранних пифагорейцев.

Исторические источники свидетельствуют, что Пифагор занимался не только математикой. Так, Гераклит упрекает его в «многознании»: «Пифагор, сын Мнесарха, предался исследованию больше всех людей и, выбрав для себя эти сочинения, составил себе (из них) свою мудрость: многознание и обман»23. Помимо учения о бессмертии души, ее божественной природе и ее перевоплощениях, Пифагор учил о том, что все в мире есть число, занимался исследованием числовых отношений как в чистом виде, так и применительно к музыкальной гармонии, которая, по преданию, именно им была открыта. Ему, видимо, принадлежит также учение о беспредельном и пределе и представление о беспредельном как четном, а о пределе — как нечетном числе24.

Учение о пределе и беспредельном

С представлением о противоположности предела и беспредельного связана также космология ранних пифагорейцев, согласно которой мир вдыхает в себя окружающую его пустоту и таким образом в нем возникает множественность вещей. Число, т.е. множество единиц, возникает тоже из соединения предела и беспредельного. Мир, следовательно, мыслится здесь как нечто завершенное, замкнутое (предел), а окружающая его пустота — как нечто аморфное, неопределенное, лишенное границ — беспредельное. Противоположность «предел — беспредельное» первоначально была близка к таким мифологическим противоположностям, носящим ценностно-символический характер, как свет — тьма, доброе — злое, чистое — нечистое и т.д. Об этом свидетельствует и высказывание Аристотеля о пифагорейцах, где дается перечень десяти пар противоположностей:

предел — беспредельное,покоящееся — движущееся,нечет — чет,прямое — кривое,единое — множество,свет — тьма,правое — левое,хорошее — дурное,мужское — женское,квадрат — параллелограмм25.Из этих противоположностей строится все существующее, и само число рассматривается тоже как состоящее из противоположностей — чета и нечета. Как сообщает Аристотель, «элементами числа они (пифагорейцы. — П.Г.) считают чет и нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным; единое состоит у них из того и другого — оно является и четным и нечетным, число <образуется> из единого, а <различные> числа, как было сказано, это — вся вселенная»26.

Единое, или единицу (monЁj), пифагорейцы, как видно из приведенного текста Аристотеля, ставили в особое положение: единица для них — это не просто число, как все остальные27, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно приобщиться к единице — она же единство. Определение единицы, как его дает Евклид в VII книге «Начал», явно восходит к пифагорейскому: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым»28. Поэтому пифагорейцы не считают единицу нечетным числом (они вообще не считают ее числом, а скорее началом числа)29; первым четным числом у них является двойка, а первым нечетным — тройка.

Но почему четное соотносится с беспредельным, а нечетное — с пределом? Чтобы понять это, надо иметь в виду, что для пифагорейцев числа имели также зрительный образ; число для них было не просто количеством, а имело качественную характеристику. Это, видимо, было связано также и с тем, что древние математики изображали числа геометрически. «Представлять числа в виде геометрических образцов, — пишет У.К. Гатри, — было обычной практикой пифагорейцев; вероятно, это была самая ранняя практика и у греков, и у других народов»30. Благодаря этому арифметика и геометрия у пифагорейцев были очень тесно связаны. Поэтому пифагорейцы различали линейные, плоские и телесные числа. Так, единица у них выступала как точка, двойка — как линия (две точки), тройка — как плоскость (рис. 1), четверка — как тело («первое» тело — пирамида; рис. 2).

 

Рис. 1 Рис. 2

Теперь присмотримся к характеру первого четного и первого нечетного чисел. Первое нечетное — тройка — имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое. Тройка, согласно пифагорейцам, — это элементарный треугольник, совершенная фигура. Что же касается двойки, то у нее недостает середины, поэтому она не имеет центра в себе и ей свойственно растекаться в беспредельность31. И в самом деле, двойка — это определение линии, а линия неограниченно простирается в обе стороны32.

Аристотель в «Физике» разъясняет пифагорейское учение о чете и нечете следующим образом: «…пифагорейцы считают бесконечное четным числом, оно, будучи заключено внутри и ограничено нечетным числом, сообщает существующим вещам бесконечность. Доказательством служит то, что происходит с числами: именно, если накладывать гномоны вокруг единицы и сделать это далее (для четных и нечетных отдельно), в одном случае получается всегда особый вид фигуры, в другом — один и тот же»33.

Гномоном в Древней Греции назывался вертикальный стержень, поставленный на горизонтальной плоскости (первые солнечные часы). Пифагорейцы именовали гномоном фигуру, полученную при операции образования большего квадратного числа из меньшего. Гномонами они называли нечетные числа, так как обнаружили, что если их последовательно прибавлять к единице, то они сохраняют фигуру квадрата: 1 + 3 = 22; 4 + 5 = 32 и т.д. Графически это изображалось следующим образом (рис. 3). Последовательные гномоны имеют форму, изображенную на рис. 4. Как видим, путем наложения гномонов сохраняется один и тот же вид фигуры — квадрат. Именно это свойство нечетных чисел — образовывать в результате их прибавления одну и ту же, хотя и возрастающую в размерах, фигуру — было существенно для пифагорейцев.

 

Рис. 3 Рис. 4

А что имеет в виду Аристотель, говоря о другом случае — о случае, когда каждый раз возникает особая фигура? Оказывается, если складывать числа четные, то будем получать не квадрат, а прямоугольник: 2, 6, 12, 20 и т.д. Эти числа пифагорейцы называли «прямоугольными» в отличие от первых — «квадратных»: 4, 9, 16, 25 и т.д. Четные числа впоследствии стали называть гномонами прямоугольников. Нечетное число, таким образом, сохраняет себя (свою форму), а потому оно — предел, единое, покоящееся, прямое, квадратное, хорошее; четное же теряет свою форму: оно беспредельное, множество, движущееся (изменчивое), кривое, неквадратное (разностороннее), дурное.

Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение числа, по-видимому, восходит к мифологической и культовой символике, но у пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней Греции.

Числовая символика пифагорейцев

В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой символике. Так, к уже ранее найденным семеркам — семь элементов, семь сфер вселенной, семь частей тела, семь возрастов человека, семь времен года и т.д. — пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место десятке. О том, как это произошло, дает представление следующий отрывок из Лаврентия Лида: «Итак, правильно Филолай назвал число 7 «не имеющим матери». Ибо оно по своей природе ни рождает, ни рождается. Не рождающее же и не рождаемое — неподвижно»34. Этот отрывок дает представление о символическом языке пифагорейцев. Смысл сказанного на этом языке таков: семерка — простое число, она не возникает из множителей, как другие числа: 4, 6, 8, 9, 10. Можно, правда, рассматривать ее как произведение 1(7, но положение единицы как сомножителя в пифагорейской математике неоднозначно35. Именно поэтому в некоторых свидетельствах сообщается о том, что семерка не рождена от матери, но имеет только отца — монаду (в этом случае единица принимается за сомножитель); в других же случаях говорится, что у нее нет ни матери, ни отца. Семерка была низведена с пьедестала самого совершенного числа и уступила место десятке потому, что, как сообщают свидетельства, она неподвижна, не рождается от других чисел и сама не рождает36.

Сам по себе переход от семерки к десятке как совершенному числу37 не означает какого-то существенного сдвига, ибо происходит еще в русле прежнего, сакрально-мифологического отношения к «священному числу». Но мотивировка этого перехода нам представляется весьма существенной для понимания того, как в пифагорейской школе совершался переход от древней мифолого-сакральной числовой символики к выявлению математических числовых отношений.

В самом деле, как рассматриваются числа, освященные в разных древних культурах, — семерка, пятерка, тройка и другие? Точно так же, как мы уже видели у Гиппократа: в форме перечисления семеричных реалий: природных стихий, времен года, периодов человеческой жизни и т.д. И чем больше обнаруживается такого рода семеричных, пятеричных, троичных реалий, тем ярче становится ореол совершенства вокруг семерки, пятерки, троицы. Возможно, и пифагорейцы начали именно с этого. (И не только начали — они и в дальнейшем продолжали вскрывать подобного рода инварианты, только уже в виде инвариантных пропорций, что существенно меняло способ их анализа числа.) Но, начав с этого, они вскоре перешли от семерки к десятке, потому что семерка «не рождает». А это значит, что их внимание сосредоточилось не только на выявлении семеричности в природе, но и на связи чисел друг с другом и отношении их между собой. Они обнаружили, что числа вступают между собой в определенные отношения, что их произведения, суммы, разности дают некоторые значимые сочетания, что именно эти сочетания — а не просто сами числа — выражают собой вещи и их закономерности. Десятка «рождает» — значит, в десятке уже скрыто содержится ряд важных числовых соотношений и фигур.

Новое понимание числа могло возникнуть только тогда, когда существенным стало различение чисел четных и нечетных, первых (простых) и вторых (сложных) и когда стремление проанализировать отношения между числами, формы их связи между собой привело к установлению отношений прежде всего двух последовательных чисел натурального ряда, n и n + 1. В этом смысле первая десятка, по убеждению пифагорейцев, уже содержит в себе все возможные типы числовых отношений38 (а пифагорейцы признавали 10 видов этих отношений). 

Пояснением к этому может служить отрывок из Спевсиппа, взятый из «Теологумен», переведенный и прокомментированный П. Таннери: «…10 заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности, возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные, плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 — линия, 3 — треугольник, 4 — пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и общая сумма ее членов — число 10… В плоских и телесных фигурах первые элементы также точка, линия, треугольник и пирамида, заключающиеся в числе 10 и в нем же находящие свое завершение. Так, например, у пирамиды (имеется в виду «первая» пирамида — тетраэдр. — П.Г.) 4 угла или 4 грани и 6 ребер, что составляет 10. Интервалы и пределы точки и линии дают также 4, стороны и углы этого треугольника — 6, т.е. опять-таки 10″39. Говоря о том, что точка, линия, треугольник и пирамида составляют число 10, Спевсипп имеет в виду числовое выражение точки, линии, треугольника и пирамиды, т.е. 1 + 2 + 3 + 4 = 10, что, будучи изображено графически, дает совершенный треугольник — знаменитую пифагорейскую тетрактиду, или четверицу (рис. 5).

 

Рис. 5

Декада, таким образом, есть также равносторонний треугольник, а это, согласно пифагорейцам, совершенная фигура.

Делая, таким образом, первые — и решающие — шаги в создании математики как теоретической системы, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали открываемые ими отношения чисел как символы некоторой божественной реальности. Согласно свидетельству Прокла (из комментариев к «Началам» Евклида), «у пифагорейцев мы найдем, что одни углы посвящены одним богам, другие — другим. Так, например, поступил Филолай, посвятивший одним богам угол треугольника, другим — (угол) четырехугольника и иные (углы) иным (богам), и приписавший один и тот же (угол) нескольким богам, и одному и тому же богу несколько углов соответственно различным силам, (находящимся) в нем»40.

Такого рода отождествление различных богов с определенными числовыми отношениями и их геометрическими изображениями носит характер, близкий к мифологическим отождествлениям (море — Посейдон, дерево — дриада, волны — Океаниды и т.д.). Так, у Прокла далее читаем: «Справедливо Филолай посвятил угол треугольника четырем богам: Кроносу, Аиду, Аресу и Дионису… Ибо Кронос владеет всей влажной и холодной субстанцией, Арес же — сей огненной природой, и Аид содержит (в своей власти) всю земную жизнь, Дионис же правит влажным и теплым рождением, коего символ — вино, тоже влажное и теплое. Все они различны по своим делам, касающимся (вещей) второго порядка, (сами же) между собой соединяются. Поэтому-то Филолай изображает их соединение, приписывая всем им вместе один угол» (МД. Ч. III. 32А, 14).

Здесь нетрудно увидеть единство, в каком для сознания пифагорейцев выступали соотношения чисел и связь божественных сил и природных стихий.

Итак, декада содержит в себе все виды числовых отношений, а эти отношения лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души. Числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом смысле пифагорейцы говорят, что «все есть число». Поэтому познание природы возможно только через познание числа и числовых отношений41. Платон ограничил значение числа, полагая, что последнее не само выражает сущность всего существующего, а есть лишь путь к постижению этой сущности. Число, как мы дальше увидим, Платон помещает как бы посредине между чувственным миром и миром истинно сущего. Аристотель подверг критике пифагорейский тезис «все есть число» с другой позиции, чем Платон. Если для пифагорейцев математика лежит в фундаменте всякого знания о природе, то Аристотель в корне переосмысливает соотношение математики и физики, создавая направление научного исследования («научную программу»), в корне отличное от пифагорейского.

В декаде, по убеждению пифагорейцев, не только содержатся все возможные отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и беспредельного. Декада — это «предел» числа, ибо, перешагнув этот предел, число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев предстает также как священная четверица42, которая, по преданию, была клятвой пифагорейцев.

Итак, анализ пифагорейского учения о декаде показывает, что понимание ими числа включает в себя два момента. Во-первых, сходную с древневосточной и древнегреческой традициями сакрализацию числа и соответствующую ей тенденцию вскрывать десятиричную основу во всем существующем43. Во-вторых, существенно новый подход к анализу священного числа с целью раскрыть в нем возможные числовые отношения. При этом внимание направляется на внутренние связи между числами, что приводит к установлению ими важнейших математических положений.

То обстоятельство, что оба эти момента — отношение к числу как чему-то священному и анализ реальных форм связей между числами — соединяются, оказывается важным для генезиса математики как систематической теории. В самом деле, во-первых, искомые и находимые связи между числами, числовые пропорции выступают как основа и фундамент всех природных явлений и процессов; во-вторых, поиски связей и единства всех возможных закономерностей числа становятся для них центральной задачей исследования.

Пропорциє и гармония

Уже из анализа пифагорейского учения о сущности декады можно видеть, что в центре внимания пифагорейцев стоит вопрос об отношениях чисел, т.е. о пропорциональных отношениях.

Числовые пропорции, или соразмерности, пифагорейцы называли также гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при определенных соотношениях длин струн последние издают приятный (гармонический) звук, а при других — неприятный (диссонанс). Приписываемое Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной четверице. «Пифагор открыл, — пишет А.О. Маковельский, — что если заставить последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту. Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4 термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть интервалы октавы, квинты и кварты»44.

Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45. Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение «все есть число» получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в самых разных процессах46. Гармония стала у пифагорейцев математическим понятием, и, что важно, пифагорейская математика и философия оказались проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет специфические особенности античного мышления. Не случайно Аристотель, говоря о пифагорейцах, не отделяет их учение о гармонии от учения о числе. «…Они (пифагорейцы. — П.Г.) видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом»47.

Из отрывков сочинения Филолая «О природе» можно получить дополнительные сведения о том, насколько для пифагорейцев понятия «число» и «гармония» внутренне связаны между собой. Весь космос, по Филолаю, образовался из двух начал: предела и беспредельного. Эти начала противоположны. Как же могут они между собой соединяться? С помощью гармонии, отвечает Филолай. Гармония, по его определению, есть «соединение разнообразной смеси и согласие разногласного»48. Согласие разногласного — это определение гармонии в музыке и оно же, как видим, выступает в качестве основного принципа устроения мира, в котором противоположности объединяются по принципу музыкального созвучия, консонанса49.

Но если гармония есть соединение предела и беспредельности, единство этих противоположностей, то она и есть число, ибо число, как мы уже отмечали выше, тоже возникает из беспредельного и предела. Печать возникновения из этих противоположностей лежит на числах; они делятся на четные, в которых возобладало беспредельное, и нечетные, где возобладал предел. Но и в каждом из чисел независимо от этого их деления можно видеть присутствие в них обоих начал, что мы уже отмечали применительно к числу 10.

Гармония и число обнаруживаются пифагорейцами не только в музыке. Согласно сообщению Аристотеля, пифагорейцы на основании чисел составляли представление о расположении небесных светил; в движении небесных тел они видели еще одно подтверждение своего тезиса, что все в мире устроено «в соответствии с числом». Аналогия между числовыми соотношениями в музыке и в астрономии породила характерное для пифагорейцев представление о «гармонии сфер». В раннем пифагореизме движение небесных светил — это как бы их танец вокруг мирового огня, сопровождаемый музыкой, по красоте и гармоничности превосходящей земную музыку настолько же, насколько небесные тела совершеннее земных, а по мощи — настолько, насколько их масса и скорость превосходят соответственно массу и скорость земных тел50.

Таким образом, в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания. Из отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem. cor. 3): «Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно. В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к другу»51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег в основу первой математической «программы». То, в чем не обнаруживается «природа числа», не может быть предметом познания. То, что не содержит в себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное непознаваемо.

Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного знания получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также систематизацию различных областей математического знания, соединение их в единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э. оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у Платона.

Поэтому рассмотрение пифагорейской математики IV в. до н.э., так же как и более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает разъяснение математических понятий — может быть, наиболее близкое духу пифагореизма.

Однако предварительно необходимо ввести в рассмотрение еще ряд аспектов математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление дальнейшей эволюции понятия науки в античности.

Числа и вещи

От Аристотеля мы получаем свидетельство о том, что пифагорейцы не проводили принципиального различия между числами и вещами. «Во всяком случае, — говорит Аристотель, — у них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и свойств…»52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к чувственному бытию53.

Относительно онтологического статуса числа у пифагорейцев Аристотель сообщает следующее: «…пифагорейцы признают одно — математическое — число, только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них это — не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них» (курсив мой. — П.Г.)54.

Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел. А это, в свою очередь, возможно в том случае, если, как и подчеркивает Аристотель, числа имеют некоторую величину, так что могут мыслиться занимающими пространство. И не в том смысле, что то или иное число можно изобразить в качестве геометрической фигуры — как, например, 4 — это площадь квадрата со стороной, равной 2, а именно в том смысле, что само число, как единица, двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит, складывается из чисел55.

Но в таком случае единицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают как телесные единицы, и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия, «первый объявил пифагорейские монады телесными»56.

При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми — это их важнейший атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началами всего сущего. То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимые единицы, из которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики с ними Аристотеля: «То, что они (пифагорейцы. — П.Г.) не приписывают числу отдельного существования, устраняет много невозможных последствий; но что тела у них составлены из чисел и что число здесь математическое, это — вещь невозможная. Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже> если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа — это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам, как будто тела состоят из этих чисел» (курсив мой. — П.Г.)57.

В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность вещей из неделимых единиц — чисел58. Если судить по приведенным отрывкам, то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического фундамента математически-логический атомизм, при котором числа рассматривались как геометрические точки с определенным положением в пространстве.

К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный историк математики Оскар Беккер. «У истоков греческой математики, — пишет он, — вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fЅjoi) одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры»59.

Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его «геометрической арифметикой»60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает Аристотель, единица (monЁj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не наделенная особым положением (stigmh ҐJetoV), а точка (stigmї) — как единица, имеющая положение (monҐV JЪsin Ьcousa)61.

Открытие

несоизмеримости

Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися62.

Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на извлечение квадратных корней, в том числе и   EMBED Equation.2   , решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения главного тезиса их учения «все есть число».

Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.

Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность   EMBED Equation.2   , пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их точки зрения, «онтологическую» характеристику чисел, а именно на деление их на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали, по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар по основному убеждению пифагорейцев, что «все есть число». Открытие иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало, видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии пифагорейцев. Ибо целое число — ўriJm»V — лежало, согласно Пифагору и его последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны были быть выразимы в целых числах. Эта — исторически первая — теория чисел теперь оказалась поставленной под вопрос.

Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не отменил математической «программы» изучения природы, а только внес в эту программу свои коррективы.

Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического числа.

Вместо геометрической арифметики теперь развивается «геометрическая алгебра»: величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но и несоизмеримые величины.

Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых точек-монад.

Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится Евклидом в четвертом определении V книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе «О шаре и цилиндре» (пятое допущение, или постулат Архимеда): «…б(льшая из двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном отношении»65.

Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.

Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках. Ведь те понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Именно в этом, кстати, упрекают пифагорейцев и Платон, и (еще больше) Аристотель. В самом деле, числа у них не отделены от вещей, говорит Аристотель. Но ведь и нельзя сказать, чтобы они у них сознательно и обоснованно отождествлялись с вещами! Вопрос об онтологическом статусе чисел в этом плане просто не возникал, а потому здесь и царила некоторая непроясненность, неопределенность. Далее, Аристотель говорит, что у пифагорейцев фигуры состоят из чисел, как из неделимых пространственных единиц. Но и здесь мы имеем дело с такой же первоначальной непроясненностью: число выступает то как единица, не отнесенная к пространству, к чувственному миру, то как неделимая частица самого этого мира — такова у пифагорейцев точка. Ибо именно так предстает пифагорейцу-математику единица, когда он дает «полуарифметическое — полугеометрическое» (по словам Беккера) начертание «тройки» (рис. 2) и «десятки» (рис. 5).

Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы с величинами, но и понять, что такое величина.

Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками поставил Зенон из Элеи, выявив противоречия, связанные с понятием бесконечности, и после него невозможно было вернуться к прежнему, дорефлексивному оперированию математическими понятиями. Благодаря элеатам началась логическая работа над исходными понятиями науки — напряженная работа на протяжении V, IV и III вв. до н.э., завершившаяся созданием трех главных программ научного исследования: математической, атомистической и континуалистской.

Характерно, однако, что на всем протяжении этого бурного периода в развитии философии и науки — с V по III в. до н.э. — можно выделить как бы два направления философско-теоретической работы. Одно из них представлено теми философами и учеными, которые прежде всего заняты проблемами обоснования науки и логического уяснения и разработки ее понятий и методов. К нему принадлежат Зенон, Демокрит, Платон, Аристотель, Теофраст и др. Другое направление представлено в первую очередь математиками-«практиками» — такими, как Архит Терентский, Евдокс Книдский, Менехм, Теэтет. Хотя эти ученые отнюдь не чужды вопросам обоснования науки и глубоко проникнуты заботой о логической четкости своих построений, но центр тяжести их исследований лежит в другом: они конструируют модели движения небесных светил, ищут способы решения математических задач, прибегая к помощи циркуля и линейки, и не всегда ставят вопрос о логическом обосновании своих методов.

Может быть, этим обстоятельством в какой-то мере объясняется тот факт, что некоторые пифагорейские представления о числе, точке и т.д. сохранялись еще у математиков до IV в. до н.э. включительно, несмотря на то что в строго логическом обосновании математики к этому времени греческая мысль ушла далеко от исходной точки благодаря критике Зенона, работе Платона и других философов. А что пифагорейские представления о числе сохранялись до III в. до н.э., можно судить по уже приведенным отрывкам из Аристотеля, да и по некоторым книгам Евклидовых «Начал». Эти представления сохранялись до тех пор, пока с ними можно было работать математику — даже если с логической точки зрения они и не были достаточно прояснены и обоснованы.

Правда, судя по свидетельству Секста Эмпирика, сами пифагорейцы тоже пытались усовершенствовать свои понятия, чтобы избежать критики со стороны элеатов. «Некоторые же (из пифагорейцев. — П.Г.) говорят, — пишет Секст, — что тело составляется из одной точки. Ведь эта точка в своем течении образует линию, а линия в своем течении образует плоскость, а эта последняя, двинувшись в глубину, порождает трехмерное тело. Однако такая позиция пифагорейцев отличается от позиции их предшественников. Ведь те выводили числа из двух начал — монады и неопределенной диады, затем из чисел — точки, линии, плоскостные и пространственные фигуры. А эти из одной точки производят все. Ведь из нее (по их мнению) возникает линия, из линии — поверхность, а из последней — тело»66. Ф.М. Корнфорд видел в этом усовершенствовании непосредственный ответ пифагорейцев на критику Зенона Элейского, которая, как он считал, была направлена именно против пифагорейцев, образовавших величину из расположенных рядом дискретных точек, которые, по свидетельству Аристотеля, мыслились как протяженные67.

Интересные соображения по этому вопросу высказал Дж. Рейвен. Согласно Рейвену, пифагорейцы под влиянием критики элеатов по-новому определили понятия «точки», «линии» и т.д., введя принцип непрерывности и рассматривая точки на линии лишь как ее «границы» или «пределы». По Рейвену, это было шагом вперед от понятия «минимальной линии», мыслимой как состоящей из двух точек. Рейвен считает, что эти новые понятия были созданы «поколением пифагорейцев, живших уже в эпоху Платона; платоники же позаимствовали у них эти понятия»68. Однако на основании тех источников, которыми пока располагает история науки, трудно разрешить вопрос, какую роль в этом процессе перестройки математических понятий сыграли современные Платону пифагорейцы, а какую — сам Платон и его школа. Некоторые исследователи поэтому полагают, что установлением таких основных геометрических понятий, как точка, линия, плоскость, трехмерное тело, наука обязана Платону, который далеко не все заимствовал у Филолая69.

 

Глава вторая

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА И ПЕРВАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Что такое бытие?

Основал эту школу Ксенофан Колофонский, главными ее представителями были Парменид1 и Зенон Элейский; последний, как свидетельствуют древние источники, был любимым учеником Парменида. Значение элеатов в становлении античной философии и науки трудно переоценить. Они впервые поставили вопрос о том, как можно мыслить бытие, в то время как их предшественники — и ранние физики-натурфилософы, и пифагорейцы2 — мыслили бытие, не ставя этого вопроса. Благодаря элеатам вопрос о соотношении мышления и бытия становится предметом рефлексии; в результате появляется стремление прояснить с логической точки зрения те понятия и представления, которыми прежняя наука оперировала некритически. «Итак, я скажу тебе (ты же внимательно прислушивайся к моим речам), какие только пути исследования доступны для разума. Первый путь: бытие есть, а небытия нет. Это путь Достоверности (PeiJи), ибо близко подходит он к Истине. Второй путь: бытия нет, а небытие должно быть. Этот путь — поверь мне — не должен заслуживать твоего доверия. Ибо немыслимо ни познать, ни выразить небытия: оно — непостижимо»3. Небытие непознаваемо, невыразимо, оно недоступно мысли, потому оно и есть небытие. Ибо, по Пармениду, «мыслить и быть одно и то же»4.

Это изречение Парменида Платон и Аристотель склонны были толковать так: единственно возможным содержанием мышления является чистое бытие.

Как справедливо отмечает В. Лейнфельнер, «Парменид даже не подозревал, какие философские дискуссии, длящиеся столетиями, возбудит он своим положением, что мышление и бытие — одно и то же»5. Этой постановкой вопроса Парменид создавал предпосылки для научного мышления в собственном смысле слова, которое начинается с обсуждения следствий, вытекающих из его концепции мышления.

Что же такое парменидовское «бытие», какими атрибутами оно наделено?

Различение мыслимого и чувственно воспринимаемого. Прежде всего, по Пармениду, бытие — это то, что всегда есть; оно едино и вечно — вот главные его предикаты. Все остальные предикаты бытия уже производны от этого. Раз бытие вечно, то оно безначально — никогда не возникает; неуничтожимо — никогда не гибнет; оно бесконечно, цельно, однородно и невозмутимо: «Для него нет ни прошедшего, ни будущего, ибо оно во всей своей полноте живет в настоящем, единое, неразделимое. И действительно, какое начало найдешь ты для него? Где и откуда могло бы оно возникнуть?»6

Вечность бытия и единство его для Парменида неразрывно связаны. Бытие непреходяще, а это значит, что оно не дробится на части, одна из которых могла бы быть, а другая — гибнуть или возникать; потому он и говорит, что бытие едино и цельно, неделимо, не дробится на множество. То, что у бытия нет ни прошлого, ни будущего, как раз и означает, что оно едино, тождественно себе. «Таким образом, исчезает возможность возникновения и гибели бытия. Бытие — неделимо, ибо оно всюду одинаково и нет ничего ни большего, ни меньшего, что могло бы помешать связности бытия, но все оно преисполнено бытием. Нераздельно же бытие потому, что бытие тесно примыкает к бытию»7.

Вечное (неизменное), цельное (сплошное), неделимое, единое (не многое) бытие, по Пармениду, неподвижно. Ибо откуда взяться движению у того, что не изменяется?

Можно было бы согласиться с теми, кто, подобно Лейнфельнеру, склонен считать, что парменидовское бытие есть онтологизированный логический принцип тождества (А = А), если бы сам Парменид не осознавал этот принцип тождества именно как бытие. А ведь он не только осознавал, но даже наглядно представлял его, говоря, что оно подобно шару. То, что ничем не может быть уязвлено или ущемлено, чему ничто не мешает быть таким, каково оно есть, ничто не вторгается в него извне и не деформирует изнутри, принимает форму шара. Шар — это образ-схема самодостаточной, ни в чем не нуждающейся, никуда не стремящейся реальности. А таково, по Пармениду, бытие.

Но присмотримся к определениям парменидовского «бытия». Оно вечно, едино, неизменно, неделимо, неподвижно. Все это — характеристики, противоположные тем, какими наделены явления чувственного мира — мира изменчивых, преходящих, подвижных вещей, раздробленных на множество. Движение и множественность — это две характеристики чувственного мира, которые друг друга предполагают, как это постоянно подчеркивает Парменид.

Мир бытия и чувственный мир впервые в истории человеческого мышления сознательно противополагаются: первый — это истинный мир, второй — мир видимости, мнения. Первый познаваем, второй недоступен познанию.

Вслед за Парменидом эту концепцию развивал Зенон, его ученик, которого Аристотель не случайно называет «изобретателем диалектики». Различие между Парменидом и Зеноном Платон усматривает только в том, что Парменид доказывал существование единого, а Зенон — несуществование многого8.

В школе элеатов впервые предметом логического мышления стала проблема бесконечности. В этом смысле философия элеатов представляет собой важный рубеж в истории научного мышления. Некоторые исследователи считают, что учение элеатов кладет начало научному знанию в строгом смысле слова9. Такая точка зрения имеет свой смысл; теоретическое естествознание невозможно без математики, а сама математика, как подчеркивает Г.И. Наан, «настолько тесно связана с понятием бесконечности, что нередко ее определяют как науку о бесконечном»10. Действительно, старое, идущее через века определение математики (точнее, математического анализа, понятого как основа и фундамент математики11) как науки о бесконечном разделяют и многие современные математики12. Но впервые проблема бесконечности стала предметом обсуждения именно в школе элеатов. Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории — это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного.

Однако вряд ли следует, исходя из приведенных соображений, рассматривать апории Зенона как первые шаги научного мышления вообще. Скорее можно говорить о том, что апории Зенона были первым в истории кризисом оснований науки, прежде всего математики. Для возникновения такого рода кризиса оснований необходимо, чтобы научное знание достигло некоторого уровня, чтобы уже сложилась — пусть и первая, и недостаточно логически обоснованная, но именно теория как систематическая связь положений13. И такая теория возникла ко времени Зенона: это была пифагорейская математика.

Вопрос о «приоритете»: Пифагор или Парменид?

Поскольку А. Сабо в своей весьма содержательной и серьезной работе «Начала греческой математики» приходит к выводу, что учение элеатов в сущности легло в основу греческой математики и стало, таким образом, отправным пунктом в ее развитии, мы должны рассмотреть этот вопрос детальнее.

Сабо рассуждает следующим образом. Греческая математика, говорит он, отличается от египетской и вавилонской тем, что в ней утверждения, положения всегда доказываются, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и часто примеры того, как надо решать определенную математическую задачу. Анализируя структуру математического доказательства, как оно дается в «Началах» Евклида, Сабо приходит к выводу, что доказательство представляет собой способ удостоверения того или иного положения, которое не желают (или не могут) удостоверить с помощью наглядной демонстрации. Сабо допускает, что в более ранний период математики доказывали свои утверждения, демонстрируя доступную созерцанию фигуру, так что ядро доказательства составляла конкретная наглядная демонстрация; в основе доказательства, таким образом, лежала эмпирическая и наглядная очевидность. От такого рода доказательства Евклид, подчеркивает Сабо, отказался. При этом речь идет, как полагает Сабо, не о простом повороте от наглядных моделей к понятиям, а о «сознательном отказе от созерцательного (наглядного)», о сознательном избегании просто наглядного. В результате отказа от созерцания Евклид, говорит Сабо, прибегает к так называемому косвенному выводу — доказательству от противного. «Оба эти явления в греческой математике — отказ от эмпиризма и характерное использование косвенного вывода — я свожу к решающему влиянию философии элеатов»14, — пишет Сабо. Связь здесь вполне понятна: именно элеаты впервые последовательно проводят мысль о том, что истинное знание может быть получено только с помощью разума, а чувственное восприятие всегда недостоверно.

Мы совершенно согласны с Сабо в том отношении, что именно философия элеатов впервые положила начало логической рефлексии относительно важнейших понятий античной науки, и прежде всего математики. В этом смысле ее значение для развития античной науки трудно переоценить. Именно после критики элеатов начинается уяснение предпосылок греческой математики, которые у ранних пифагорейцев, как мы видели, еще оставались непроясненными. Именно после критики элеатов, впервые поставивших на обсуждение проблему бесконечности и связанную с ней проблему континуума (пространства, времени, движения), начинают складываться основные направления научной мысли Древней Греции.

Однако трудно согласиться с некоторыми выводами, которые делает Сабо, исходя из исследования роли элеатов в становлении античной науки. Так, например, анализируя первое определение VII книги «Начал» Евклида, где вводится понятие единицы (monЁV)15, Сабо приходит к заключению, что понятие monЁV могло появиться в античной математике только после элеатов. Он подчеркивает, что даже терминологически «сущее» (t’ ‘n) и «Одно» (t’ Ьn) выступают у элеатов как взаимозаменяемые понятия. Но известно, что первое определение VII книги Евклида почти полностью воспроизводит рассуждение Пифагора о единице, как его передает Секст Эмпирик в книге «Против ученых» (Х, 260-261)16. И не только из сообщения Секста, но и из других сообщений древних известно, что понятие монады было одним из центральных в философии ранних пифагорейцев и что, стало быть, им пользовались еще до элеатов.

Поскольку, однако, Сабо усматривает в учении элеатов о едином источник и начало развития науки, он вынужден отрицать существенный вклад ранних пифагорейцев в развитие античной математики. «В каком смысле, — пишет он, — можно вообще говорить о «соперничестве» между элеатами и пифагорейцами (=арифметиками)? Как известно, элеаты допускали только существование «сущего», «Одного» и отрицали, что существует множество, ибо они считали, что можно доказать самопротиворечивость мышления также в понятии множества. Но если отрицается множество, то арифметика вообще невозможна. Следовательно, арифметики могли позаимствовать у элеатов понятие «единства», но они уже не могли вслед за элеатами отклонить множество; они должны были каким-то образом удержать множество, ибо без множества нет арифметики. И, в самом деле, второе определение арифметики у Евклида («Начала», кн. VII, определение 2) спасает именно понятие множества благодаря тому, что оно гласит: «Число есть множество, составленное из единств (из монад — Щc monЁdwn)»17.

Согласно приведенному отрывку, арифметики-пифагорейцы могли позаимствовать у элеатов понятие единицы (монады), но не могли следовать за ними в отрицании множества, если хотели оставаться арифметиками. Зачем же, однако, было арифметикам заимствовать понятие монады у элеатов, когда это понятие уже было у ранних пифагорейцев, образовывавших число (множество) из единицы и беспредельного? И само определение числа как множества, составленного из монад (единиц, единств), — это его раннепифагорейское определение, которое приводится и Евклидом в его арифметических книгах.

Сабо сам пишет, что, признавая множество, пифагорейцы тем самым резко отличаются от элеатов; но было бы неверным, продолжает он, «говорить о их «соперничестве», так как арифметики ведь отнюдь не оспаривали элеатовское понятие «одного», они только развили его дальше…»18. В действительности, у самих «арифметиков» (т.е. пифагорейцев) уже до элеатов было понятие монады, причем в отличие от элеатов они не считали, что «единое» и «многое» (множество) взаимно исключают друг друга — тезис, который выдвинули против них элеаты. Именно элеаты впервые попытались показать, что понятие множества несовместимо с понятием «одного», «единицы», а потому заставили позднейших философов, в том числе и пифагорейцев, задуматься о том, как возможно без противоречия мыслить число и какова его природа.

Апории Зенона

Из 45 апорий, выдвинутых Зеноном, до нас дошло 9. Классическими являются пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения. Первую, получившую название «апория меры», Симпликий излагает следующим образом: «Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон, прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными»19.

Аргумент Зенона, вероятнее всего, направлен против пифагорейского представления о том, что тела «состоят из чисел». В самом деле, если мыслить число как точку, не имеющую величины («толщины», протяженности), то сумма таких точек (тело) тоже не будет иметь величины, если же мыслить число «телесно», как имеющее некоторую конечную величину, то, поскольку тело содержит бесконечное количество таких точек (ибо тело, по допущению Зенона, можно делить «без предела»), оно должно иметь бесконечную величину. Из этого следует, что невозможно мыслить тело в виде суммы неделимых единиц, как это мы видели у пифагорейцев.

Можно, пожалуй, сказать, продолжив мысль Зенона: если «единица» неделима, то она не имеет пространственной величины (точки); если же она имеет величину, пусть как угодно малую, то она делима до бесконечности. Элеаты впервые поставили перед наукой вопрос, который является одним из важнейших методологических вопросов и по сей день20: как следует мыслить континуум — дискретным или непрерывным? состоящим из неделимых (единиц, «единств», монад) или же делимым до бесконечности? Любая величина должна быть понята теперь с точки зрения того, состоит ли она из единиц (как арифметическое число пифагорейцев), неделимых «целых», или она сама есть целое, а составляющие ее элементы самостоятельного существования не имеют. Этот вопрос ставится и по отношению к числу, и по отношению к пространственной величине (линии, плоскости, объему), и по отношению к времени. В зависимости от решения проблемы континуума формируются и разные методы изучения природы и человека, т.е. разные научные программы.

Пока мы рассмотрели только одну апорию Зенона, в которой выявляется противоречивость понятия «множества». Теперь перейдем к тем апориям, где обсуждается возможность мыслить движение. Мы увидим, что здесь в основе лежит тоже проблема континуума. Наиболее известны четыре апории этого рода: «Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Стрела» и «Стадий». Кратко их содержание передает Аристотель в «Физике»: «Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца… Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество… Третье… заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из отдельных «теперь»… Четвертое рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью, одни — с конца ристалища, другие — от середины, в результате чего, по его мнению, получается, что половина времени равна ее двойному количеству»21.

Первая апория — «Дихотомия» — доказывает невозможность движения, поскольку преодоление любого расстояния предполагает «отсчитывание» бесконечного множества «середин»: ведь любой отрезок можно делить пополам — и так до бесконечности. Другими словами, если континуум мыслится как актуально данное бесконечное множество, то движение в таком континууме невозможно мыслить, ибо занять бесконечное число последовательных положений в ограниченный промежуток времени невозможно.

Эту антиномию можно истолковать двояким образом, и в зависимости от истолкования ее и решают по-разному. Если считать, что противоречие состоит в невозможности в конечный отрезок времени «отсчитать» бесконечное число моментов (пройти бесконечное число положений), то решение антиномии будет состоять в указании, что Зенон неправомерно отождествил бесконечность с бесконечной делимостью. Такое решение апории Зенона дал Аристотель, введя понятие континуума как потенциально делимого до бесконечности22. В самом деле, если все дело в том, что в конечный отрезок времени нельзя пройти бесконечное количество точек пространства, то достаточно указать на то, что и любой конечный отрезок времени точно так же можно делить до бесконечности, как и любой отрезок пространства. Но возможность деления, говорит Аристотель, еще не тождественна действительной поделенности как пространства, так и времени; иначе говоря, пространство и время делимы до бесконечности потенциально, но не поделены до бесконечности актуально. Бесконечная делимость не есть бесконечная величина, а потому движение, по Аристотелю, мыслимо без всякого противоречия. Каждому моменту времени соответствует определенная точка в пространстве. Так введением потенциальной бесконечности Аристотель решает антиномию, возникшую у Зенона при допущении континуума как актуальной бесконечности.

Однако проблема актуальной бесконечности, поставленная Зеноном, при этом не снимается. В самом деле, рассуждение Зенона основано на невозможности мыслить завершенную бесконечность. И если говорят, что не только любой отрезок пространства, но любой отрезок времени содержит в себе бесконечность, так что между моментами того и другого можно установить взаимно-однозначное соответствие, то этим еще не решается вопрос о том, как же мыслить бесконечность осуществленной, законченной. Аристотель решает этот вопрос, устраняя вообще актуально-бесконечный континуум. Попытку решить проблему, оставаясь на почве актуальной бесконечности, предпринял Г. Кантор; С.А. Богомолов попытался показать, каким образом с точки зрения теории множеств можно разрешить парадоксы Зенона23.

В основе апории «Ахиллес» лежит то же противоречие, что и в основе «Дихотомии»: чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен занять бесконечное множество «мест», которые до тех пор занимала черепаха.

В третьей апории — «Стрела» — Зенон доказывает, что летящая стрела покоится. Зенон здесь исходит из понимания времени как суммы дискретных (неделимых) моментов, отдельных «теперь», а пространства — как суммы точек. Он рассуждает так: в каждый момент времени стрела занимает определенное место, равное своему объему (ибо в противном случае стрела была бы «нигде»). Но если занимать равное место, то двигаться невозможно (движение предполагает, что предмет занимает место, большее, чем он сам). Значит, движение можно мыслить только как сумму состояний покоя, а это невозможно (ибо сумма нулей не дает никакой величины). Таков результат, вытекающий из допущения, что пространство состоит из суммы неделимых «мест», а время — из суммы неделимых «теперь».

Аналогично можно было бы рассуждать, исходя из неделимости «моментов» времени: в каждый из моментов стрела должна покоиться, а значит, движение невозможно. Допустить движение значит предположить, что «момент» будет разделен.

Как видим, доказательство невозможности движения основано на допущении дискретного континуума — пространство и время мыслятся как состоящие из актуального множества неделимых «единиц». Апория «Стадий» по своим предпосылкам сходна со «Стрелой». Пусть по ристалищу, по параллельным прямым, с равной скоростью движутся навстречу друг другу два предмета равной длины и проходят мимо неподвижного третьего предмета той же длины. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижный предмет, ряд В1, В2, В3, В4 — предмет, движущийся вправо, и ряд С1, С2, С3, С4 — предмет, движущийся влево:

А1 А2 А3 А4

В1 В2 В3 В4 ЧЧ(

(ЧЧ С1 С2 С3 С4

По истечении одного и того же момента времени точка В1 проходит половину отрезка А1А4 и целый отрезок С1С4, т.е. она пройдет мимо четырех точек на отрезке С1С4 и в то же время мимо только половины точек на отрезке А1А4.

Согласно предпосылке Зенона, каждому неделимому моменту времени соответствует неделимый отрезок пространства. Значит, точка В1 в один момент времени проходит разные части пространства в зависимости от того, с какого пункта вести отсчет: по отношению к отрезку А1А4 она в момент времени проходит одну неделимую часть пространства, по отношению к отрезку С1С4 — две неделимые части пространства24. Неделимый момент времени оказывается вдвое больше самого себя. Значит, либо неделимый момент времени должен быть делимым, либо делимой должна быть неделимая часть пространства. Поскольку же ни того, ни другого Зенон не допускает, то вывод его гласит: движение невозможно мыслить без противоречия, а значит, движения не существует.

Таким образом, все четыре апории имеют целью доказать невозможность движения, поскольку его нельзя мыслить, не впадая в противоречие. Вывод Зенона парадоксален в том смысле, что, будем ли мы мыслить континуум делимым до бесконечности (апории «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха») или же, напротив, состоящим из неделимых моментов (апории «Стрела» и «Стадий»), мы не можем без противоречия мыслить движение ни в том, ни в другом случае. В первом случае в силу бесконечной делимости пространства никакой — даже самый малый — отрезок пути не может быть пройден; более того, внимательно присмотревшись к апории «Дихотомия», мы увидим, что движение не может даже и начаться: ведь чтобы пройти половину отрезка, нужно сначала пройти половину этой половины и т.д. до бесконечности, а значит, невозможно пройти никакой конечный отрезок пути. В случае «Ахиллеса» — та же ситуация, только бесконечная последовательность направлена не в прошлое, а в будущее.

Во втором случае — «Стрела» и «Стадий» — никакое движение невозможно в силу того, что и время, и пространство состоят из неделимых элементов.

Парадоксы Зенона не раз квалифицировались в истории как скептицизм и даже «софизмы». Поводом к этому служило, помимо прочего, и то обстоятельство, что эти парадоксы разрушают определенные представления, в том числе не только теоретические установки (пифагорейцев или Гераклита), но и, казалось бы, неопровержимые факты опыта, к каковым относятся и множественность, и движение25.

Апории Зенона действительно имеют критическую направленность, и мы увидим ниже, к какому пересмотру теоретических предпосылок пифагореизма дала толчок критика Зенона.

Однако есть в этих апориях и такая сторона, на которую до сих пор обращалось недостаточно внимания, но которая сыграла важную роль в развитии науки. В самом деле, в апориях Зенона предполагается обязательным при исследовании движения строго соотносить друг с другом точки пространства с моментами времени: все, что движется, должно иметь пространственную и временную «координаты». И хотя Зенон доказывает, что в действительности движение не соответствует и не может соответствовать этому требованию (потому оно и немыслимо), но требование, само требование от этого своей силы не теряет. А это, в сущности, есть работа над прояснением необходимых логических предпосылок определения понятия движения. Зенон сформулировал задачу для науки. И, хотя сам он счел ее неразрешимой, другие ученые могли теперь пытаться ее решить хотя бы путем обхода тех парадоксов, которые вскрыл Зенон.

Таким образом, Зенон в ходе своей критически-отрицательной работы подготовил почву для создания важнейших понятий точного естествознания: понятия континуума и понятия движения. Стремление впоследствии положительно решить задачу, условия которой дал Зенон, привело к созданию новых программ научного исследования — с одной стороны, программы Демокрита, с другой — преобразованной (не без помощи Платона) пифагорейской программы и, наконец, программы Аристотеля.

 

Глава третья

АТОМИЗМ ЛЕВКИППА-ДЕМОКРИТА

Атомистическое решение проблемы движения

Один из путей разрешения вопросов, поставленных Зеноном, был предложен Демокритом. Демокрит родился около 470-469 г. до н.э., умер в IV в. до н.э. Он был младшим современником Анаксагора и старшим — Сократа. По сообщению Диогена Лаэрция, в своем сочинении «Малый Мирострой» Демокрит «упоминает и воззрения учеников Парменида и Зенона, бывших в его время чрезвычайно популярными, о единстве (бытия)»1.

Упоминаниє об учении элеатов в работах Демокрита, от которых, к сожалению, сохранились только отрывки, приводимые древними авторами, для нас весьма существенны, ибо именно парадоксы Зенона, видимо, оказали существенное влияние на Демокрита.

Демокрит попытался решить вопрос о возможности движения, вводя иную, чем у элеатов, предпосылку: не только бытие, но и небытие существует. При этом он мыслил бытие как атомы, а небытие как пустоту.

Демокрит, по-видимому, стремился с помощью учения об атомах предложить также решение парадоксов бесконечности Зенона. В самом деле, в любом теле существует как угодно большое, но конечное число атомов, а потому, казалось бы, должен существовать и объективный предел деления, так что апории «Ахиллес» и «Дихотомия» должны как будто утратить свою силу. Однако демокритовское учение об атомах, как мы покажем ниже, не дает оснований для преодоления парадоксов бесконечности, носящих строго логический характер. Демокрит предложил свое решение, обойдя ту предпосылку, из которой исходил Зенон: он ввел такое упрощение проблемы, которое не допускалось в рамках зеноновой постановки вопроса, однако открывало перспективу обхода возникших здесь трудностей. Если элеаты рассматривали проблемы множественности и движения отвлеченно-теоретически, то теория Демокрита с самого начала была ориентирована на объяснение явлений эмпирического мира. О том, насколько плодотворным был предложенный Демокритом способ рассмотрения природы, свидетельствует дальнейшее развитие науки, в котором программа Демокрита сыграла очень важную роль.

Демокрит уточняет пифагорейское понятие монады2: ведь пифагорейцы тоже, как мы помним, исходили из допущения неделимых начал — единиц, но им не был ясен вопрос о том, являются ли эти единицы вещественными элементами, физическими частицами или только математическими точками, не имеющими измерений. А соответственно они не могли поставить и вопрос о природе континуума. В самом деле, если любая линия и ее часть, так же как и любое тело, состоит из этих неделимых единиц неизвестной природы, то неясно также, конечное или бесконечное множество этих единиц составит тот или иной отрезок или тело3. Ибо если единицы эти — точки «без частей», то даже бесконечное множество их не образует величины, если же они — не математические точки, а физические «камешки», то в теле определенной величины их может быть большое, но конечное число.

Парадоксы Зенона как раз и выявили эту проблему. И теперь Демокрит, уточняя пифагорейское понятие единицы, приходит к выводу, что «единицу» надо мыслить как физическое тело очень малых, но конечных размеров. В этом случае любой отрезок линии, так же как и любое тело трех измерений, может состоять из очень большого, но всегда конечного числа неделимых физических «монад» («единиц») — атомов.

Многие историки философии полагают, что принцип атомизма направлен против положения Анаксагора о неограниченной делимости вещей. Такую точку зрения высказывает, в частности, В. Лейнфельнер. «Усилия атомистов, — пишет он, — направлены против основной аксиомы Анаксагора, согласно которой все вещи неограниченно делимы. Из единств, которые, так сказать, постоянно разламываются, раскалываются, не может быть построено никакое тело; должны существовать минимальные единства неделимого характера. Агрегация, как и диссоциация, требует минимальных неделимых частиц, атомов»4.

Вопрос, однако, осложняется тем, что учение Анаксагора о «семенах» (spЪrmata) имеет также и ряд общих моментов с теорией атомистов, так что можно рассматривать его как комплементарное по отношению к атомистике Левкиппа-Демокрита. Не случайно возник спор относительно того, кто на кого оказал влияние: Левкипп ли на Анаксагора или же Анаксагор на Демокрита.

Однако независимо от того, выступал ли Демокрит как критик Анаксагора, или же он заимствовал у Анаксагора некоторые аспекты его учения о «семенах», отвергая другие аспекты этого учения, цель его состояла в том, чтобы разработать такое учение о структуре континуума, которое избегало бы противоречий, указанных Зеноном, и уточняло бы пифагорейское представление о «монаде».

И, наконец, еще один, последний, вопрос исторического характера. Как известно, Демокрит был не первым, кто выдвинул учение об атомах; его предшественником был Левкипп, живший предположительно с 500 по 440 г. до н.э. и бывший современником Пифагора, Парменида, Зенона, Анаксагора. Но вопрос о Левкиппе сам по себе очень сложен и запутан5.

Имеется, однако, важное свидетельство Аристотеля относительно теоретических источников возникновения атомизма в целом, в том числе и атомизма Левкиппа. Оно не противоречит нашему предположению относительно того, что атомисты развили свое учение, чтобы избежать противоречий, указанных элеатами. К тому же, это свидетельство Аристотеля проливает дополнительный свет на рассматриваемую нами ситуацию в науке V в. до н.э., поэтому мы и приводим его здесь. «Наиболее методически, — пишет Аристотель в работе «О возникновении и уничтожении», — построили свою теорию, руководствуясь одним общим принципом при объяснении явлений, Левкипп и Демокрит, исходя из того, что сообразно природе, какова она есть. Некоторые из древних полагали, что необходимо (логически), чтобы бытие было едино и неподвижно. Ибо пустота не существует, а при отсутствии отдельной пустоты невозможно движение, равно как и не может быть многих предметов, если отсутствует то, что отделяло бы их друг от друга… Исходя из таких рассуждений, некоторые (ученые) вышли за пределы ощущений и пренебрегли ими, так как считали, что нужно следовать разуму. Поэтому они говорят, что целое едино и неподвижно… Заметим, что с логической точки зрения все это последовательно, но с точки зрения фактов такой взгляд похож на бред сумасшедшего. Левкипп же был убежден, что у него есть теория, которая, исходя из доводов, согласных с чувствами (в то же время) не сделает невозможным ни возникновение, ни уничтожение, ни движение, ни множественность вещей. Признав все это в согласии с явлениями, он в согласии с теми, кто доказывает единство (целого), признал, что движение невозможно без пустоты, а пустота — это несуществующее, однако, ничуть не менее реальное, чем существующее, но то, что существует в прямом смысле слова, является наполненным. Тем не менее подобная вещь не едина, а представляет собой бесконечные по числу (частицы), невидимые, вследствие малости каждой из них. Эти частицы носятся в пустоте, ибо пустота существует; соединяясь, они приводят к возникновению (вещей), а разъединяясь, к уничтожению»6.

Как видим, Аристотель связывает появление атомизма — и не только Демокрита, но и Левкиппа — с критикой учения элеатов; чтобы возможно было мыслить движение, возникновение и уничтожение вещей, Левкипп и Демокрит допустили существование неделимых частиц — атомов — и пустоты, в которой движутся атомы и без которой они немыслимы.

Атомизм, таким образом, возникает отнюдь не в результате эмпирических наблюдений (например, движения мельчайших пылинок в солнечном луче), а в результате развития определенных теоретических понятий. Эмпирические наблюдения привлекаются уже потом, в целях демонстрации, и играют роль наглядных моделей атомистической теории. «Учение Демокрита, — пишет Э. Кассирер, — возникло не благодаря ослаблению, а, напротив, благодаря усилению строгих понятийных требований элеатов, благодаря их более точному проведению и их более последовательному применению к явлениям. Он пытается восстановить не непосредственный чувственный мир — последний резче, чем когда-либо раньше, характеризуется как продукт неистинного познания, skotЕa gnиmh7: он познает и представляет в твердых логических очертаниях все общее понятие опыта и эмпирического бытия8.

В этом смысле учение атомистов — это дальнейший шаг на пути освобождения философского и научного мышления от мифологических представлений; раннее пифагорейство, пытаясь все сущее объяснить с помощью чисел, в гораздо большей степени привлекало на помощь числам мифологические образы, чем это делали элеаты, а тем более атомисты. Однако при этом у всех философов досократического периода (за исключением, может быть, элеатов, да и то только отчасти) есть одна общая черта: отсутствие логический рефлексии по поводу своих научно-теоретических построений. Эту их особенность отмечает и Э. Кассирер: «Однако при всей свободе и широте взгляда… все до сих пор пройденные фазы (Кассирер имеет в виду греческую философию до Сократа. — П.Г.) характеризуются общей связывающей их границей. Все они превращают содержание бытия в содержание мышления; но их внимание при этом направлено только на продукт, а не на процесс этого преобразования. Функция чистого понятийного мышления еще полностью скрывается за ее результатами и еще не достигает обособленного, сознательного определения»9.

Действительно, ни у пифагорейцев, ни у атомистов мы не находим сознательно производимой рефлексии по поводу тех научных и философских понятий, с помощью которых они хотят обрести истинное знание о мире. Есть, правда, вполне осознанное различение истинного знания и ложного и вполне последовательное отделение тех путей, посредством которых обретается истинное знание, от путей «мнения», «темного знания». Но никогда (даже у элеатов) не подвергается специальному анализу тот процесс, благодаря которому открывается этот самый «путь истины».

Атом Демокрита Ч физическое тело

Рассмотрим теперь ближе понятие атома. Само слово «атом» (ҐtomoV) образовано от глагола tЪmnw — «резать», «разрезать», «разрубать», «рассекать»; «атом», следовательно, переводится как «неразрезаемое», «нерассекаемое». Он обозначает такое физическое тело, которое в силу его твердости (по некоторым соображениям, также ввиду его малости) не может быть разрезано на более мелкие части.

В то же время поскольку атом — это мельчайшее физическое тело, то в нем можно мысленно различить еще более мелкие части. Так, Фемистий сообщает: «Те, которые принимают неделимые, не говорят, что они чрезвычайно малы, поскольку в них находится (нечто), что мысленно допускает (дальнейшее) деление на семь частей: они говорят еще, что это не делится на более мелкие части»10, «то есть не делится фактически или физически», как поясняет эту последнюю часть отрывка В.П. Зубов11. Что это за семь частей, можно понять из параллельного текста Августина: «Сколь бы мало ни было такое тельце (corpusculum), конечно, оно имеет правую и левую часть, верхнюю и нижнюю, заднюю и переднюю, или, иначе говоря, наружные части и среднюю. Ибо мы должны признать, что это по необходимости должно наличествовать в сколь угодно малой мере тела»12.

Допущение этих простейших «частей» необходимо атомистам потому, что иначе атомы превратились бы в неделимые точки, не имеющие частей, и из соединения их тогда не возникали бы тела чувственного мира. Неделимые точки, линии и плоскости, т.е. математические, а не физические единицы, допускали, согласно сообщениям древних авторов, пифагорейцы (возможно, современники Платона) и Платон, а также Ксенократ («неделимые линии»), но они в отличие от атомистов не утверждали, что тела чувственного мира состоят из этих неделимых амер. «Пифагорейцы, — сообщает Сириан, — не составляли вещей из амер, как школа Демокрита — из атомов»13. И еще более определенно тот же Сириан пишет: «Когда же (пифагорейцы утверждают), что величина состоит из неделимых (частиц), то они не хотят этим сказать, что атомы, собравшись вместе и будучи как бы прибиты друг к другу, образуют расстояние; такова теория Демокрита, противоречащая геометрии и всем, можно сказать, прочим наукам…»14 Судя по этому отрывку, Сириан хочет сказать, что пифагорейцы не составляли континуум из неделимых (точек, линий, плоскостей) путем простого сложения (сцепления: «как бы прибиты друг к другу») их, поскольку неделимые пифагорейцев были амерами, т.е. не имели «частей» (измерений), а складывание единиц, лишенных измерений, не даст никакой величины. Другое дело — атомы, физические тельца, имеющие «части» (измерения), и понятно, что атомисты образовывали тела путем «сцепления» атомов, «прибивания» их друг к другу.

Поэтому нам представляется не вполне убедительной точка зрения С.Я. Лурье15, согласно которой Демокрит допускал два вида атомов: физические атомы и математические амеры; такого рода допущения требуют двух разных методологических предпосылок.

Что же касается тех отрывков из Аристотеля и его комментаторов, которые Лурье приводит в подтверждение своей точки зрения16, то некоторые из них, например отрывок 116, свидетельствуют как раз о противоположном, а другие, прежде всего отрывки из Аристотеля, имеют несколько иной смысл, чем тот, который в них вкладывает С.Я. Лурье, а именно: Аристотель заявляет, что предпосылка физического атомизма несовместима с основами математики, ибо допущение атомов как неделимых физических частиц применительно к математике означало бы допущение некоей наименьшей доли неделимой величины, а это ниспровергало бы, по мнению Аристотеля, основы математики. Следовательно, делает он вывод, атомизм должен быть отвергнут, как несовместимый с математикой: «Существует ли какое-либо тело, бесконечное по числу (то есть существует ли бесконечное число тел), как полагала большая часть древних философов? Ведь даже малое отступление от истины в дальнейшем увеличивается в миллион раз, как, например, если кто-нибудь стал бы утверждать, что существует наименьшая величина. Такой человек, введя наименьшую величину, пошатнул бы величайшие (основы) математики»17. Это место комментирует Симпликий: «Демокрит или всякий другой, кто бы принял за первоначала величайшее множество каких-то малых и неделимых величин, допустил бы тем самым ошибку, ниспровергающую величайшие (основы) геометрии…»18

Как нетрудно видеть из приведенных отрывков, Аристотель и Симпликий делают следующее допущение: что будет, если продолжить мысль Демокрита и перевести понятие атома на язык математики? Такое допущение должно, по мысли Аристотеля, быть важным аргументом против атомизма. Интересно, что Курт Лассвиц, знаток Демокрита и автор монографии по истории атомизма, совершенно правильно поняв пафос этого и некоторых других отрывков из Аристотеля, вменил последнему в вину, что тот сам незаконно приписал Демокриту то, чего Демокрит не говорил и не мог бы говорить: «Чтобы опровергнуть атомистику, Аристотель сам выдумал математический атомизм, которого Демокрит никогда не выставлял»19.

Нам представляется, таким образом, что следует отличать атомы Левкиппа-Демокрита как элементарные физические тела от «неделимых» пифагорейцев и Платона. Хотя и те и другие ведут свое происхождение от нерасчлененного и неясного поэтому понятия «монады» ранних пифагорейцев, однако именно благодаря Левкиппу и Демокриту, с одной стороны, и Платону и Ксенократу — с другой, это исходное понятие «единицы» «расщепилось» на физический атом и математическую амеру.

В этом вопросе мы полностью присоединяемся к выводу В.П. Зубова, который пишет в этой связи: «У нас нет достаточных данных утверждать существование у Демокрита представления, будто наряду с физически неделимыми атомами (или, так сказать, внутри них) существуют в качестве их компонентов еще более мелкие неделимые части, или «амеры»»20. В том же смысле, что и В.П. Зубов, высказался по этому вопросу также немецкий ученый Ю. Мау21.

Специально рассмотрел этот вопрос Д. Ферли в своей книге «Два исследования о греческих атомистах» (1967). Первое исследование — «Неделимые величины» как раз посвящено проблеме делимости и непрерывности, и здесь автор приходит совсем к другому выводу, чем С.Я. Лурье. В своей работе Ферли различает делимость физическую и теоретическую: «Мы должны различать два рода деления, — пишет он. — Я называю первый род физическим делением: это деление, при котором прежде соприкасавшиеся (contiguous) части отделяются друг от друга пространственным интервалом. Этому противоположно теоретическое деление: объект является теоретически делимым, если части могут быть разделены в нем умом, даже если эти части не могут быть отделены от других пространственным интервалом»22. Как видим, физическую делимость Ферли отождествляет с возможностью практически разделить тело на части; теоретическая же делимость означает, что тело может быть мысленно разделено на части, даже если его и невозможно разделить физически. Однако и при физической делимости (неделимости), и при делимости теоретической речь идет, согласно Ферли, о возможности или невозможности разделить физическое тело. Именно такого рода теоретическую (а не только физическую) неделимость физических тел — атомов, по мнению Ферли, отстаивали Левкипп и Демокрит. Но отсюда еще не следует, подчеркивает он, что Демокрит утверждал также и математический атомизм, т.е. неделимость уже не тел, а пространственных величин. «Математическим атомистом будет тот, кто полностью отрицает бесконечную делимость для всех протяженных величин, т.е. кто утверждает принцип конечной делимости в геометрии. И я не уверен, что Демокрит был математическим атомистом в этом смысле»23, — говорит Ферли во введении к своей работе. Подробно проанализировав античные свидетельства об атомизме Демокрита, Ферли в заключение констатирует: «Рассмотрение свидетельств подтверждает тот взгляд, что Левкипп и Демокрит были более чем физическими атомистами. Они считали, что их атомы являются неделимыми теоретически, так же как и физически. Но, как я уже отмечал, нет свидетельств о том, что они рассматривали также и пространство как составленное из неделимых минимумов. Я думаю, что последнее было нововведением Эпикура»24.

Действительно, не случайно столь многие свидетельства древних авторов подчеркивают именно неделимость атомов как физических тел. Причем надо сказать, что в этих свидетельствах очень тесно связываются между собой аргументы в пользу теоретической неделимости атомов (в том смысле, в каком термин «теоретическая» неделимость употребляет Ферли) с аргументами в пользу их физической неделимости, т.е. невозможно «разрезать», «разбить» их на части. Так, по сообщению Лактанция, «Демокрит говорит, что они (атомы) так малы, что нет ни одного столь тонкого железного лезвия, которое могло бы их рассечь и разделить, поэтому он и назвал их «атомами»»25. Аналогичное объяснение встречаем у Аэтия: атомы названы так потому, что они «не могут быть разбитыми»26; «такое тело называется атомом не потому, что оно чрезвычайно мало, а потому, что не может быть разрезано, так как не подвержено воздействию и совсем не заключает в себе пустоты»27. Невозможность разрезать, разбить атомы объясняется физическими их свойствами: «…атомы неделимы и имеют свое название вследствие несокрушимой твердости»28. Именно физическое свойство атома — его твердость, плотность — не допускает возможности разделения его на меньшие части. Это свойство атомов — твердость, сплошность их — атомисты объясняют отсутствием в них пустоты. «Они (атомисты. — П.Г.) говорили, что первоначала бесконечны по числу, и считали их атомами, т.е. неделимыми и неподверженными воздействию вследствие того, что они плотны и не заключают никакой пустоты; ибо они говорили, что «деление в телах происходит через пустоту»»29.

Здесь мы можем видеть, как происходит преобразование раннепифагорейских представлений в атомистические. Пифагору, как известно, приписывали изречение о том, что мир вдыхает пустоту и благодаря этому образуется множество вещей (потому что множество предполагает разделенность единого и сплошного, а разделяющее начало мыслится как «пустота»). Из сообщения Аристотеля мы уже знаем, что, с точки зрения пифагорейцев, «пустота разграничивает природу чисел»30. Но если у ранних пифагорейцев это представление о пустоте и «монадах», которые отграничиваются ею друг от друга, еще не носило определенного характера (оно поддавалось в одинаковой мере и физическому, и математическому толкованию), то Демокрит вкладывает в него определенный, а именно физический смысл. Если благодаря наличию в теле пустот его можно делить на части, то пустота — это «щель» в физическом теле. Если «щелей» нет, то тело неделимо. Вот почему «деление в телах происходит благодаря пустоте». Что пустота трактуется именно физически и что физическое ее значение у атомистов является основным, исходным, можно видеть также из сообщения Аристотеля31. Без допущения пустоты внутри тел невозможно понять, как происходит разрежение и сгущение, разрыхление и уплотнение, т.е. простейшие из наблюдаемых в природе процессов.

Атом, согласно Демокриту, не содержит в себе пустоты, а потому он неизменяем по своей природе: его нельзя ни разрезать, ни уплотнить, ни «разрыхлить», он не может стать ни больше, ни меньше себя, не может ни гибнуть, ни возникать, он вечен и неизменен, а стало быть, имеет почти все атрибуты, которыми Парменид наделил бытие. Почти — потому, что, помимо бытия, атомисты допускают существование небытия; небытию, как и бытию, они дают физическую интерпретацию. Небытие — это пустота; она разграничивает бытие, а потому оно предстает как множественное — атомов много. И благодаря наличию небытия бытие приобретает атрибут, который за ним отрицал Парменид: движение. Если бытие у элеатов неподвижно, то «бытия» атомистов движутся непрерывно. И этим их движением атомисты объясняют те свойства чувственного мира, которые элеаты объявили пустой видимостью: изменчивость всех предметов и явлений чувственного мира.

Атом имеет еще одну существенную характеристику: он непроницаем. Как говорит Аристотель, атомы Левкиппа и Демокрита — это «полное» — в том смысле, что на одном месте не могут совместиться, «совпасть» два атома. В отличие от атомов пустота «проницаема». Непроницаемость атомов, как и их неделимость, — это характеристика их как «субстанциальных начал» природы.

Все физические процессы в мире атомисты стремятся объяснить, исходя из свойств атомов. Характер этих объяснений опять-таки позволяет видеть, что атомы мыслятся ими как физические тела. Так, образование видимых физических тел объясняется сцеплением атомов, скреплением их. Это «сцепление», о чем свидетельствует уже и сам термин (ЩpЁllaxiV), носит чисто механический характер. Атомы, «сталкиваясь, скрепляются друг с другом», пишет Цицерон32. Никакого дополнительного объяснения атомисты не предлагают. «Что говорит Демокрит? — читаем у Плутарха. — Субстанции, беспредельные по числу, неделимые и не имеющие различий, кроме того, не воздействующие на других и не поддающиеся воздействию, носятся, рассеянные в пустоте. Когда же они приближаются друг к другу или наскакивают или зацепляются друг за друга, то из этих сборищ атомов одно кажется водой, другое — огнем, третье — растением, четвертое — человеком»33.

Учение Демокрита, таким образом, представляет собой механическое объяснение природных процессов. Механические элементы в объяснении явлений физического мира мы находим и у более ранних «физиков» — Фалеса, Анаксимандра, Анаксимена, Эмпедокла, но ни у кого из них нет такой последовательности в этом отношении, какую мы видим у Демокрита. Часто можно видеть, как чисто «физическое» объяснение неожиданно оборачивается метафорой или же заменяется объяснением другого рода, как, например, принципы «любовь» и «вражда» Эмпедокла. В отличие от этих натурфилософов учение Демокрита являет собой первую продуманную концепцию механического объяснения природы, и в этом состоит его непреходящее значение. «Системы Левкиппа и Демокрита, — пишет Лейнфельнер, — до сегодняшнего дня оставались образцом для всех механистических систем в противоположность, например, полудетерминистической системе Эпикура»34.

Как видим, для появления этой механистической модели строения мира необходимо было уже весьма развитое теоретическое мышление, прошедшее не только школу ранней пифагорейской математики и «физики» натурфилософов, но и логическую школу Парменида-Зенона. Атомизм Левкиппа — Демокрита в качестве своего условия предполагает сознательное и последовательно проводимое различение физического и нефизического — различение, о котором еще не задумывались по-настоящему ни ранние пифагорейцы, ни первые «физики». К осознанию этого различия, к необходимости давать себе отчет в своих понятиях, чтобы не подменять их метафорами, подвела атомистов, как мы думаем, не в последнюю очередь диалектика Зенона. Несколько огрубляя, можно было бы сказать, что критика Зенона заставила пифагорейцев «выбрать» одно из значений «числ(«, и Демокрит «выбрал» физическое значение. На место логически непроясненного пифагорейского понятия «математические тела»35 у Демокрита встает понятие физического тела-атома.

Итак, все сущее образуется из атомов, неизменных, вечных, находящихся в постоянном движении. Они бесконечны по числу и соответственно заполняют пространство (пустоту), бесконечную по величине. Как говорит Симпликий, «Демокрит считает природой вечного маленькие сущности, бесконечные по числу. Кроме них, он принимает и пространство, бесконечное по величине. Это пространство он называет такими именами: «пустота, «нуль» (oўdЪn), «бесконечное», а каждую из сущностей — «уль» (dЪn), «плотное», «существующее»»36. 

Для того чтобы из атомов и пустоты объяснить все многообразие эмпирического мира, Демокрит вводит дополнительную характеристику атомов: они различаются сами по себе формой и величиной, а их соединения — положением и порядком атомов, из которых они состоят. Именно положение и порядок атомов должны, по убеждению Демокрита, объяснять различные чувственные качества тел эмпирического мира.

Филопон в комментарии к работе Аристотеля «О возникновении и уничтожении» следующим образом излагает эту сторону учения Демокрита: «Аристотель говорит, что сложные тела, по Демокриту, отличаются друг от друга в трех отношениях. Во-первых, тем, что они состоят из атомов, различных по форме; такой смысл имеет его выражение «тем, из чего они состоят». Ведь огонь и земля состоят не из одинаковых атомов, но огонь состоит из шарообразных атомов, а земля — не из таких, а, например, из кубических. Но, продолжает он, сложные тела отличаются друг от друга еще положением и порядком атомов. Ведь часто два каких-нибудь тела составлены из одних и тех же атомов, тогда разница между ними будет иметь причиной порядок атомов, например, в одном теле будут первыми помещаться шарообразные атомы, а последними — пирамидальные, в другом же наоборот — первыми пирамидальные, а последними — шарообразные, как, например, в слогах WS и SW. Так что порядок одних и тех же букв является причиной разницы. Равным образом разница между сложными телами может иметь причиной и положение атомов, если (те же атомы) находятся в одном случае в лежачем положении, в другом — в стоячем, в третьем — вверх ногами. Так, буквы Z и N или G и L отличаются только положением. При этом надо иметь в виду, что из этих трех видов различий первое, при котором тело состоит из тех, а не из иных атомов, делает сложные тела другими и совершенно разнородными, а различие в положении и порядке атомов делает их не различными телами, а лишь видоизменениями (одного и того же тела)»37.

Характеристика атомов по форме тоже указывает на физический смысл понятия «атом»; атомы имеют бесконечное множество форм (чем, кстати, отличаются от «форм» неделимых у пифагорейцев и Платона)38. Атомисты указывают как правильные (геометрические) формы — шарообразные, кубические, пирамидальные, так и неправильные: «…одни из них кривые, другие якореобразные, одни вогнутые, другие выпуклые, третьи имеют другие бесчисленные различия»39. Наконец, как сообщает Цицерон, атомы могут быть «одни шероховатые, другие округленные, частью же угловатые или с крючками, некоторые же искривленные и как бы изогнутые»40. Совершенно очевидно, что формы атомов объясняют механику их «сцепления» («якореобразные», «с крючками») и позволяют увидеть существенное различие между физическим атомизмом Левкиппа-Демокрита и математическим атомизмом пифагорейцев и Платона.

Этот ярко выраженный физический характер атомистической теории хорошо понимал Аристотель. Он отличал атомы Демокрита от неделимых монад Платона и платоников, подчеркивая, что атомисты рассуждают как физики, а платоники — как логики. Ввиду важности этого рассуждения Аристотеля мы приводим его здесь. «…Если существуют неделимые величины, то есть ли это тела, как полагают Демокрит и Левкипп, или плоскости, как (говорится) в «Тимее»? Этот прием деления вплоть до плоскостей, как мы уже говорили в другом месте, нелеп: поэтому логичнее, чтобы неделимыми были тела… Причина того, что (считающие неделимыми плоскости) хуже умеют подвергнуть исследованию общепринятые (взгляды), их неопытность. Вот почему те, которые более понаторели в естественнонаучных изысканиях (Демокрит и Левкипп), с большим искусством кладут в основу (исследования) такие начала, которые могут дать единое, связное объяснение большому числу явлений»41. Аристотель, как видно отсюда, считает, что Левкипп и Демокрит вводят понятие атома для объяснения явлений природного, физического мира, основываясь при этом на большом естественнонаучном опыте. Они работают при этом как физики в отличие от школы Платона, которая, как известно, мало обращалась к изучению физического мира, а предавалась логическим и математическим исследованиям. В результате аргументы, требовавшие допущения неделимых, были в этих школах разными: у атомистов — от физики, у платоников — от логики и математики. Платоники, говорит Аристотель, «обильно предаваясь рассуждениям и потому оставаясь в стороне от наблюдения над существующим, высказывают легкомысленные суждения на основании наблюдения над немногими (явлениями). И на (разбираемом) здесь (примере) можно видеть, насколько отличаются рассуждающие естественнонаучно от рассуждающих чисто логически: так, говоря о существовании неделимых величин, те (платоники) говорят, (что их необходимо постулировать), так как (иначе неделимая) идея треугольника станет множеством. Относительно же Демокрита можно убедиться, что он опирался на специфические (для данного вопроса) и естественнонаучные рассуждения»42.

Здесь мы видим предпочтение самого Аристотеля, который в отличие от Платона, убежденного, что истинное знание может быть лишь знанием идей, считает возможной также и физику — науку об эмпирическом мире, о природе. Но нам сейчас важно не это: независимо от предпочтений самого Аристотеля он в общем верно указал ту область, объяснительную модель которой хочет предложить атомизм: это природа, мир эмпирических явлений и процессов. Атомисты, говорит Аристотель, опираются на естественнонаучный опыт (разумеется, специфический: естественнонаучный опыт своего времени), а платоники — на опыт логический.

К своей точке зрениє Демокрит, согласно Аристотелю, пришел на основании естественнонаучных соображений, и потому его «объяснительная гипотеза» (т.е. атомы и пустота) гораздо плодотворнее для физики, чем учение о неделимых линиях Платона.

Характерные особенности античного атомизма

Итак, специфическая особенность учения атомистов состоит, во-первых, в том, что философия, как ее понимает Демокрит, должна объяснить явления физического мира. В этом отношении Демокрита вполне можно отнести к досократикам — «физикам».

Во-вторых, само объяснение физического мира понимается атомистами как указание на механические причины всех возможных изменений в природе. Все изменения в качестве своей причины имеют в конечном счете движение атомов, их соединение и разъединение, причем чувственно воспринимаемые качества эмпирических предметов (теплота и холод, гладкость и шероховатость, цвет, запах и т.д.) объясняются только формой, порядком и положением атомов.

В-третьих, объясняющий принцип (атомы и пустота) и долженствующий быть объясненным объект (эмпирический мир) существенно отделены: атомы — это то, что невозможно видеть, их можно только мыслить. Правда, как поясняет Демокрит, они невидимы «из-за их малости»43, но, как мы знаем, у Демокрита было весьма детально разработано учение, позволяющее принципиально отделить мир эмпирический (как мир субъективного восприятия) и мир истинно существующий (объективного знания).

В-четвертых, специфической чертой атомизма является наглядность объясняющей модели. Хотя то, что происходит поистине (движение атомов в пустоте), отличается от нашего субъективного «мнения», т.е. того, что мы воспринимаем с помощью органов чувств, но, несмотря на это, сами атомы, их форма, порядок, их движение («носятся» в пустоте), их соединения не просто мыслятся нами, но и представляются вполне наглядно. Мы в состоянии видеть как бы оба мира одновременно: «качественный» мир чувственного опыта, звучащий, окрашенный и т.д., и мир движущегося множества атомов — не случайно атомисты ссылались на «движение пылинок в луче света» как на наглядный образ движения атомов.

Этот наглядный характер атомистической объясняющей гипотезы оказался одним из важных ее преимуществ, заставлявших многих ученых (и не только в древности, но и в новое время) обращаться к атомизму в поисках наглядной модели для объяснения физических явлений.

В-пятых, важной особенностью объяснительной теории атомистов является то, что их теоретическая модель непосредственно соотносится с эмпирическими явлениями, которые она призвана объяснить. Между теоретическим и эмпирическим уровнями нет никаких посредствующих звеньев. Именно этот момент имеет в виду Лейнфельнер, когда говорит, что атомистическая теория не предложила удовлетворительного объяснения движения.

Шагом вперед по сравнению с атомистической физикой является физика Аристотеля, впервые попытавшегося дать понятийный аппарат для определения движения.

Нам здесь важно, однако, отметить значение атомистической теории с точки зрения эволюции науки. Несмотря на то что атомистическое учение, как оно сложилось в V в. до н.э., не могло дать удовлетворительного объяснения движения, значение его для науки трудно переоценить. Это была первая в истории мысли теоретическая программа, последовательно и продуманно выдвигавшая методологический принцип, требовавший объяснить целое как сумму отдельных составляющих его частей — индивидуумов. «Индивидуум» («неделимый») — буквальный перевод на латинский язык греческого слова «атом». Объяснять структуру целого, исходя из формы, порядка и положения составляющих это целое индивидуумов, — такая программа легла в основу целого ряда не только физических теорий древности и нового времени, но и многих психологических и социологических доктрин. Атомисты разработали метод, который мог быть применен — и неоднократно применялся — ко всем возможным областям как природного, так и человеческого бытия. Этот метод можно назвать механистическим: механическое соединение индивидуумов должно объяснить сущность природных процессов. Только будучи последовательно продуман и последовательно проведен, этот метод позволяет выявить как свою эвристическую силу, так и свои границы.

Характерной особенностью античного атомизма как метода «собирания целого из частей» является то, что при этом целое не мыслится как нечто действительно единое, имеющее свою особую специфику, несводимую к специфике составляющих его элементов. Оно мыслится как составное, а не как целое в собственном смысле этого слова44. Вот что сообщает об этом Симпликий: «Они (Левкипп и Демокрит. — П.Г.) утверждали, что «из единого не может стать многое», ибо атом неделим, и что «из многого не может стать единое», то есть поистине непрерывное, но что каждая (вещь только) кажется единой вследствие соединения атомов»45. Согласно Демокриту, скопления (сцепления) атомов только кажутся некоторыми единствами, целостностями (вещами) нашему субъективному восприятию; объективно же они остаются чисто механическими соединениями, «ибо, по его (Демокрита. — П.Г.) мнению, совершенно нелепо, чтобы две или еще большее число (вещей) стали когда-либо единой (вещью)»46. Таким образом, все явления эмпирического мира, по Демокриту, суть лишь агрегаты, соединения атомов.

Действительными единствами являются только атомы; все же остальное, что мы находим в эмпирическом мире, — в том числе как в неорганической, так и в органической природе, — обладает лишь мнимым единством, видимостью единства47. Вот почему в атомистическом учении так важно различение истинного, действительно сущего, с одной стороны, и мнимого, только субъективного — с другой. В этом отношении опять-таки обнаруживается общность исходных посылок атомистов и элеатов: в школе элеатов с большой настойчивостью проводится тезис о принципиальном отличии истинного бытия от мира видимости, иллюзии, каким оказывается чувственный мир: «Демокрит говорит, что ни одно из чувственно воспринимаемых качеств не существует как субстанция, но воспринимаемое чувствами — только обман чувств. В вещах, существующих вне нас, нет ничего ни сладкого, ни горького, ни теплого, ни холодного, ни белого, ни черного, как и ничего другого из того, что всем представляется. Все это только название наших ощущений»48.

Последовательно проводимое разделение действительного бытия мира, как он существует объективно, и мира субъективного, каким является чувственный мир, — еще одна существенная черта учения атомистов. Какую бы из последующих форм атомизма мы ни рассмотрели, всякий раз мы увидим ту же разделенность мира на объективный и субъективный. В XVII-XVIII вв. это различение отлилось в форму учения о первичных и вторичных качествах, теоретические предпосылки которого вполне справедливо видеть в древнем атомизме Левкиппа и Демокрита49.

Однако было бы неправильно на этом основании сближать теорию познания атомистов со скептицизмом: Демокрит отрицает достоверность чувственного знания, но отнюдь не знания вообще. Он твердо убежден, что истинная действительность постигается с помощью мышления. Позиция Демокрита, таким образом, должна быть охарактеризована как рационалистическая: показания чувств не могут вывести нас за пределы «незаконнорожденной мысли», за пределы сферы «мнения».

Демокрит, конечно, стремился объяснить также и чувственные качества вещей (их цвет, вкус, твердость или мягкость, теплоту и т.д.) определенной формой, порядком и положением атомов; в этом отношении он также предвосхищает все последующие варианты атомизма, создавая объяснительную модель, которая сохраняет свое значение для естествознания на протяжении более чем двух тысячелетий. Но при этом объяснении характера чувственных качеств вещей, исходя из свойств атомов, важным моментом остается принципиальная разнородность объясняемого свойства и объясняющего принципа. Тому, что воспринимается нами субъективно как сладкое, твердое, красное и т.д., в самом объекте соответствует нечто инопорядковое — не имеющее ни цвета, ни вкуса, ни другого чувственного качества, а только форма атомов (круглые, заостренные и пр.) и их порядок.

Большое эвристическое значение атомизма состояло в том, что Демокрит не останавливался ни перед какими, даже самыми парадоксальными, выводами, если только они логически вытекали из его атомистического механицизма.

Вполне естественно критиковать то или иное философское направление за его односторонность; однако односторонность — это не только недостаток, но и большое преимущество: она позволяет до конца продумать определенную теоретическую предпосылку и исчерпать все те эвристические возможности, которые открывает эта предпосылка. Идти до конца в проведении своего принципа, не отступая перед возможными парадоксальными следствиями его, — такая позиция требует от ученого, помимо научной добросовестности, также и большого мужества. То обстоятельство, что к механистическим методам объяснения природы, предложенным атомизмом, естествоиспытатели обращались на протяжении более двух тысячелетий, обусловлено как плодотворностью «объяснительной гипотезы» атомистов, так и ее «святой односторонностью», бесстрашием ее творцов в последовательном проведении до конца своих исходных поступков50.

Как справедливо отмечает В.Ф. Асмус, «в учении атомистического материализма соединение философии с наукой, в особенности с науками естественными, дало поразительный результат. Демокрит охватил в грандиозном материалистическом синтезе все отрасли современного ему знания — научного и философского. С помощью гениальной гипотезы о неделимых частицах вещества («атомах»), движущихся в пустом пространстве, он пытался разрешить огромный круг вопросов космогонии, физики, математики, психологии, учения о бытии, теории познания»51.

Демокрит и античная математика

Согласно свидетельству Диогена Лаэрция, Демокрит написал ряд работ по математике: «О различии между (законнорожденной и незаконнорожденной) мыслью, или О касании круга и шара», «О несоизмеримых линиях и телах», а также «Геометрию». К сожалению, ни одна из этих работ до нас не дошла. Но, судя по общим принципам учения Демокрита, он стремился построить такую математику, в которой не было бы бесконечности. Согласно атомистической методологии, Демокрит, видимо, полагал, что тела состоят из большого, но конечного числа атомов. Так, конус он мыслил сложенным из очень тонких цилиндрических пластинок, как об этом сообщает Плутарх52, а шар представлял в виде многогранника с очень большим числом граней.

Демокрит благодаря этому избег тех логических противоречий, которые связаны с понятием бесконечного, но его математика, допускающая только конечное число неделимых далее физических частиц, вступала в противоречие с принципами античной (да и современной) математики. В самом деле, «в ней не существовало ни кривых линий, ни вообще правильных фигур»53. И, что не менее важно, математика Демокрита не допускала таких элементарных операций, как, например, деление отрезка пополам, без чего невозможны никакие геометрические построения и доказательства. Она «была совершенно непригодна для исследования непрерывных процессов»54.

Однако математика Демокрита покоилась на некоторой наглядной механической модели, которая могла оказаться плодотворной не столько для строго математической мысли, сколько для построения некоторых вспомогательных механических процедур, к которым стали прибегать математики эпохи эллинизма, в частности Архимед. Нужно сказать, однако, что Архимед всегда проводил четкую границу между этими своими механическими приемами и собственно математическими доказательствами. «…Кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого (механического. — П.Г.) метода еще не является доказательством; однако получить с помощью этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательство, а именно, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида — третью часть призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно упомянутых фигур, хотя и без доказательства»55.

Действительно, атомизм открывает простор для развития именно механических методов, но методов, не смыкающихся со строго математическим рассмотрением56, а потому, как говорит Архимед, «лишенных доказательства». Однако тот же Архимед в своей работе «О шаре и цилиндре» говорит по поводу теорем о пирамиде и конусе следующее: «Свойства эти остались неизвестными многим жившим до Евдокса знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли на ум»57. Приведенная нами выше ссылка на Демокрита дана Архимедом в сочинении «Эфод»58, найденном И. Гейбергом в начале ХХ в. В чем причина такого несоответствия высказываний Архимеда? Можно допустить, что «Эфод» написан Архимедом позднее, чем сочинение «О шаре и цилиндре», т.е. в период, когда Архимед еще не был знаком с методами Демокрита. Однако некоторые исследователи не согласны с таким допущением59.

Не вполне ясно также, в чем состоял тот «механический метод» Демокрита, о котором говорит Архимед в «Эфоде». Сам Архимед не сообщает об этом; но естественно, казалось бы, предположить, что Демокрит здесь прибегал к приемам суммирования. Однако немецкий историк математики Э. Хоппе, обращая внимание на употребление Архимедом выражения katanohJЅnai, утверждает, что Архимед не мог бы его употребить, если бы Демокрит пользовался приемами суммирования. Хоппе полагает, что скорее Демокрит в качестве физика определил объем конуса и пирамиды экспериментально, путем взвешивания самих тел или соответствующих им объемов жидкостей60. Такое допущение вполне объясняло бы, почему Архимед считал, что положения Демокрита о конусе и цилиндре не сопровождались доказательствами, а потому носили не строго математический, но механический характер. Однако за неимением других подтверждений точки зрения Хоппе, кроме филологического анализа глагола katanoЪw, трудно считать решенным вопрос о характере тех механических методов Демокрита, о которых сообщает Архимед.

Но если Демокрит и прибегал именно к методу суммирования, то его способ суммирования, как показал В.П. Зубов, должен был существенно отличаться от того способа, каким пользовался в «Эфоде» Архимед. «Уже было сказано, — пишет Зубов, — что для Демокрита характерным являлось разложение величин на элементы того же порядка (тел — на тела) в отличие от платоновско-пифагорейских математиков, разлагавших тела на плоскости, плоскости — на линии, линии — на точки. В «Эфоде» Архимед пользуется не первым, а вторым приемом. Метод его основан на принципе: то, что справедливо в отношении каждой пары элементов, применимо и в отношении всех элементов одной совокупности ко всем элементам другой совокупности — «каждый к каждому, как все ко всем». Если А:а = В:b = С:с = = D:d и т.д., то (А + В + С + Д…):(a + b + c + d…) = А:а. Рассматривая площади как совокупности всех линий, объемы — как совокупности всех площадей, Архимед выводит ряд квадратур и кубатур, например, определяет объем части цилиндра, вписанного в прямую призму с квадратным основанием, которая отсекается плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания призмы и центр нижнего основания.

Отличительной чертой такого доказательства является переход от соотношения между величинами n-го измерения к соотношению между величинами n + 1 измерения. Это совсем не то, что построение тел из конечного числа «неделимых тел», пусть даже число этих «неделимых» очень велико и они практически не отличаются от точек»61.

Зубов, таким образом, показал, что «суммирование», к которому прибегает Архимед, имеет в качестве своей предпосылки математические «неделимые», а не физические атомы Демокрита, ибо, согласно исходным принципам Демокрита, тела слагаются из неделимых тел, т.е. величин того же измерения.

Существенно иное истолкование получает проблема неделимых в эпоху Возрождения, в частности у Галилея. Здесь в известном смысле теряет свое значение характерное для античной науки различие математических и физических неделимых, «точек» и «линий», с одной стороны, и неделимых тел, «атомов», — с другой. Но это происходит благодаря радикальному изменению исходных методологических принципов естествознания, пересмотру тех понятий, которые были унаследованы от античной науки. Поэтому то, что было сделано в эпоху Галилея, нельзя проецировать на греческую науку, что, по-видимому, сделал С.Я. Лурье в своей работе «Теория бесконечно малых у древних атомистов» (М.; Л., 1935).

Наука и философия нового времени строєт совершенно новую модель связи математики с физикой, и в свете этой новой модели античные программы, оттесненные на задний план в средневековой науке, неожиданно приобретают совершенно новое звучание: мы имеем в виду математическую программу пифагорейцев и платоников, а также физическую программу Демокрита.

Чтобы избежать модернизации античной науки, в том числе и учения Демокрита, необходимо, по-видимому, рассматривать его в условиях теоретической ситуации того времени — как мыслителя, решающего вопросы, поставленные его предшественниками и современниками, а не нами и не нашей современной теоретической ситуацией. То же самое имеет силу и по отношению к другим теоретическим позициям и научным школам.

Если не упускать из поля зрения, что ответ Демокрита был решением задач, условия которых формулировались прежде всего двумя предшествующими философскими направлениями — пифагорейцами и элеатами, то атомистическая теория предстанет в исторической перспективе как физическая интерпретация пифагорейского учения о «единицах», неделимых «монадах». В пользу этого предположения говорит и свидетельство о том, что Демокрит, помимо того, что он был учеником Левкиппа (а сам Левкипп — учеником Зенона)62, учился также у кого-то из пифагорейцев63. Мы не можем поэтому согласиться с утверждением Э. Франка, что пифагорейский тезис «все есть число» (а соответственно и пифагорейское понятие неделимой «монады») представляет собой заимствование у Демокрита. «…Легко видеть, — пишет Франк, что такие положения, как «все есть число» или «единственно объективное познание есть математика», непосредственно вытекают из воззрения атомизма, и только из него могут быть поняты. Ибо если все есть атом или совокупность атомов, тогда, конечно, все есть только число»64. При этом Франк ссылается на Аристотеля.

Рассмотрим свидетельства Аристотеля, которые приводит Франк. Вот одно из них: «Может показаться, что все равно, говорить ли о единицах или маленьких тельцах (как элементах души). В самом деле, если бы шарики Демокрита превратились в точки, при сохранении (их) количества, то в этом (множестве) будет иметься и движущее и подвижное, как в непрерывном»65.

Говорит ли Аристотель о том, что шарики Демокрита превратились у пифагорейцев в точки, т.е. что в ходе развития концепции Демокрита пифагорейцы дали ей такое — математическое — истолкование? Ничего подобного он не говорит. В этом разделе, как и во многих других своих работах, он сравнивает атомизм Демокрита с учением о «неделимых монадах» — числах пифагорейцев, поскольку оба эти учения исходят из общей посылки — множества неделимых элементов, только Демокрит понимает их как физические «шарики», а пифагорейцы — как математические числа. Контекст высказывания Аристотеля такой: он критикует здесь учение пифагорейцев, что «душа есть самодвижущее число», и показывает, что ни понятия пифагорейцев, ни понятия атомистов не пригодны для объяснения природы души. Таким образом, извлечь из этого отрывка мысль о том, что исторически понятие числа возникло из понятия атома, на наш взгляд, невозможно66.

Аристотель вообще очень часто сравнивает атомистов с пифагорейцами, ибо, действительно, и те и другие признавали неделимые элементы и пустоту, их разграничивающую; но никогда он не забывает указать также и на различие обеих школ67. Неделимые элементы, кроме пифагорейцев и атомистов, признавал, согласно Аристотелю, и Платон; поэтому иногда Аристотель в связи с обсуждением теории неделимых говорит о всех ее разновидностях, включая сюда и платоновскую; но всегда указывает при этом на отличительные особенности каждой разновидности. Вот один из примеров: «Он (Платон) говорит примерно в том же духе, что и Левкипп, но отличается от него лишь в том, что неделимыми элементами у Левкиппа являются тела, у Платона — плоскости; при этом Левкипп утверждает, что каждое из его неделимых тел характеризуется особой формой, причем число этих форм бесконечно, а по Платону, число их ограничено. Однако же оба утверждают, что элементы неделимы и характеризуются формой» (ЛД. СвV, 222).

Точка зрения Франка логически связана с его тезисом о том, что раннее пифагорейство не имело реального отношения к науке и что существование научной школы пифагореизма можно отнести только ко времени Архита, т.е. к IV в. до н.э. При такой постановке вопроса атомизм Левкиппа-Демокрита действительно оказывается исторически первой формой учения о множестве неделимых элементов, к какому выводу и приходит Франк, несмотря на то что в свидетельствах античных авторов этот вывод ничем не подкрепляется. Точку зрения Э. Франка в этом вопросе разделяет и С.Я. Лурье. «Франк, — пишет он, — видящий в пифагорейских монадах лишь идеалистическое видоизменение демокритовых атомов, в том же смысле понимает и свидетельство Аристотеля в «Метафизике», в чем он совершенно прав (Aristot. Metaph. II, 5. P. 1002 a8)»68.

Рассмотрим указанное свидетельство Аристотеля. «Поэтому большинство мыслителей и мыслители более ранние со своей стороны признавали сущностью и сущим тело, а все остальное <считали> за его состояния, вследствие чего и начала, <которые они устанавливали для> тел, они принимали за начала всех вещей. Между тем мыслители более поздние и признанные более мудрыми, чем первые, <считали сущностями> числа»69. И Франк, и Лурье считают, что в приведенном отрывке Аристотель под более ранними подразумевает атомистов, а под более поздними — пифагорейцев и тем самым указывает на хронологическую последовательность появления этих учений. Между тем ничто в этом разделе не подтверждает такой трактовки70.

Напротив, имеется ряд свидетельств древних авторов о том, что пифагорейский принцип «все есть число» был сформулирован еще Пифагором, но эти свидетельства противоречат концепции Э. Франка, и потому он ими пренебрегает.

Существует, однако, весьма серьезная методологическая проблема, которую мы здесь не можем обойти молчанием. Связана она с тем, что практическая работа ученого — математика, физика, биолога — подчас может быть весьма плодотворной также и без специального уяснения им своих методологических предпосылок и фундаментальных понятий.

По этому поводу интересно привести замечание П. Дюгема. «Даже самый знающий геометр, — пишет он, — не мог бы определить пространство; но люди, хотя бы немного изучавшие геометрию, могут между собой говорить о пространстве без всякого опасения, вовсе не сговариваясь; они знают все, что можно утверждать о пространстве, а что — отрицать… они все согласны, что между двумя любыми точками можно провести прямую линию…»71 Геометры знают также, продолжает Дюгем, что такое время; они рассуждают, не пытаясь определить, ни что такое пространство, ни что такое время и движение, и при этом прекрасно понимают друг друга72.

То, о чем говорит Дюгем, как раз составляло характерную черту раннепифагорейской математики. Пифагорейцы не уточняли понятий пространства, времени, они даже не ставили вопроса о том, рассуждают ли они о физическом теле или математической фигуре, когда говорили, что «вещи состоят из чисел», и при этом, как верно отмечает Дюгем, они вполне понимали друг друга и вполне правильно решали задачи и делали математические открытия. Более того, и позднейшие математики (в том числе и из пифагорейцев) продолжали «работать» без предварительного определения исходных понятий (пространства, времени, движения), хотя время от времени возникающие противоречия привлекали их внимание к вопросам, связанным с онтологическим статусом математических понятий и операций.

Именно эта особенность математики (и не только математики), при которой ученый может работать в определенных рамках, не давая себе полного отчета во всех своих понятиях, является очень важным моментом для анализа эволюции науки и рассмотрения связей и взаимоотношений математика или физика с философом, размышляющим над проблемами обоснования науки. В этой связи возникает вопрос: существенно ли для деятельности ученого-математика то различие, которое мы видим, например, между Демокритом и Платоном в понимании неделимого? В античной литературе концепция Демокрита противопоставлялась концепции Платона в двух отношениях: во-первых, у Демокрита атом — физическое тело, у Платона неделимое — математическая точка, или линия, или плоскость. Во-вторых, и это вытекает из первого, у Демокрита тела (чувственного мира) слагаются из атомов, т.е. мельчайших тел того же измерения, а у Платона и пифагорейцев тела слагаются из элементов другого измерения, т.е. из плоскостей, плоскости, в свою очередь, из линий, а линии — из точек. Над этим вопросом размышлял В.П. Зубов. Он пришел к выводу, что, несмотря на указанное различие, математик мог усматривать для себя в этих концепциях один и тот же смысл, так как «в практическом отношении, при «пересчитывании», не было никакой существенной разницы, мыслились ли элементы подобных конечных множеств как точки или как тела. Вот почему не случайно античные критики брали подчас оба толкования в одни скобки, а возрождение пифагорейских (или платоно-пифагорейских) концепций позднее порою происходило «под знаменем Демокрита»»73. Видимо, Зубов в значительной мере прав; его допущение объясняет также, а это немаловажно, тенденцию к сближению пифагорейцев (и даже Платона) с Демокритом в период позднего средневековья и особенно в эпоху Возрождения.

Однако это «взятие в одни скобки» имеет и свои границы. В этом отношении показательно цитированное нами высказывание Архимеда, который строго различает доказательство определенного положения, проведенное средствами математики (т.е. теоретическое обоснование его), и усмотрение того же положения с помощью механических средств (практическое усмотрение). Это различение, проведенное великим математиком поздней античности в «Письме к Эратосфену», свидетельствует о том, что хотя научное исследование и может подчас происходить без специальной философской рефлексии относительно своих собственных оснований, но только до определенного момента: у тех, кого мы справедливо относим к классикам науки, забота о теоретическом обосновании собственной деятельности составляет важный момент последней.

 

Глава четвертая

ГРЕЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ. СОФИСТЫ И СОКРАТ

Софисты. Выявление субъективных предпосылок научного знания

До сих пор мы рассматривали направления развития философии, которые имеют одну общую особенность: в них еще нет достаточно развитой рефлексии по поводу самой теоретической деятельности и ее оснований, внимание еще сосредоточено на тех результатах, которых достигает научно-философское мышление, а не на самом процессе этого мышления.

Правда, нужно и здесь ввести различение: ионийские натурфилософы еще очень близко стоят к мифологическому способу постижения мира, шаг вперед по сравнению с ними делают ранние пифагорейцы, но и у них мы находим наряду с попытками ввести математические методы также целый ряд мифологически-метафорических фигур мысли.

Элеаты — Парменид и Зенон — делают серьезный шаг вперед от некритически-нерасчлененного мышления первых «физиков» и ранних пифагорейцев к логическому прояснению прежних понятий философии и науки и выработке новых понятий. Они пытаются отдать себе отчет в логическом значении понятий «бытие» и «небытие», «движение», «изменение» и тем самым впервые приходят к постановке вопроса о природе бесконечного и невозможности мыслить бесконечное. Зенон сосредоточивает свое внимание на понятии континуума: пространства, времени и движения как соотнесения, связывания пространства со временем. Вскрытые Зеноном противоречия бесконечности производят сильное впечатление на умы как его современников, так и последующих поколений ученых и философов: они пробуждают первые рефлексии по поводу процесса получения научного знания.

Учение атомистов представляло собой последнюю и наиболее теоретически зрелую форму раннегреческой натурфилософии, которая к концу V в. уже завершала свое развитие. Она сама, как пишет А.Ф. Лосев, «приходила к саморазложению. В ней назревали противоположности, которые уже невозможно было примирить средствами натуралистической космологии. Достаточно указать на то, что прямолинейно проводимая философия Гераклита с гипертрофией его учения об абсолютно сплошной текучести бытия приводила к анархическому иррационализму, которого не допускали ни пифагорейская религия, ни новейшие научные открытия, ни вся тогдашняя научная практика. С другой стороны, последовательно проводимое элеатство с его учением о невозможности движения также приводило к безвыходному иллюзионизму, которого пугалась и страшилась вся античность вообще… Этот процесс саморазложения «эмпиризма» и натурализма старой космологии стал возможен только благодаря нарождающемуся индивидуализму, с появлением которого логические и этические потребности начинали перерастать наивную красоту и складность досократовского объективизма. Отвлеченная наука, которая в истории философии часто бывала продуктом индивидуализма, такому положению дела, конечно, только способствовала. Многое сделал в этом отношении и сам Демокрит, апологет индивидуальной множественности. Однако следует подчеркнуть, что учение атомистов об атоме-индивидууме и об индивидуальной множественности, хотя и было самым последним и самым зрелым результатом натурфилософии, все же сопротивлялось ее разложению и отнюдь не переходило на рельсы субъективизма и идеализма»1.

Лосев дает здесь глубокий анализ той духовно-теоретической и социальной ситуации, в которой назревал поворот к новому этапу в развитии философской мысли античности — этапу всеобщей, поначалу разрушительной рефлексии. Эту рефлексию, переключившую внимание с природы на человека, с проблем «физики» — натурфилософии и космологии — на проблемы теории познания, осуществляли прежде всего софисты. Они развили и углубили ту критику, которая была начата Зеноном, но при этом направленность их критики была иной. Зенон хотел только доказать, что невозможно без противоречия мыслить множественность и движение, но он вовсе не утверждал тем самым, что познание носит субъективный характер и что в принципе невозможно истинное знание, как это доказывал софист Горгий2.

Как правильно указывает Лосев, учение Демокрита тоже внесло свою лепту в подготовку рефлексии о природе знания и о познавательных возможностях человека. Сам Демокрит был глубоко убежден в возможности истинного знания3, но его различение мнимого (чувственного) знания и знания истинного (с помощью мысли), субъективного и объективного, а также его анализ субъективного характера ощущений и чувственного восприятия как такового, несомненно, послужили толчком к развитию теоретико-познавательного интереса, характерного для софистов.

Деятельностью софистов начинается новый этап в развитии древнегреческой философии. Отличительной особенностью этого этапа является острый интерес к процессу образования философских понятий и методов, стремление не только к получению определенных результатов, но и к их логическому обоснованию, к разработке способов подтверждения достоверности этих результатов.

От анализа природы к анализу человека

Как справедливо указывает Лосев, «греческая софистика, несомненно, есть греческое Просвещение»4. Две существенные особенности характеризуют античное Просвещение: во-первых, стремление сделать научные и философские достижения того времени всеобщим достоянием, т.е. расширить круг образования, и, во-вторых, вскрыть субъективный источник всякого знания, перевести философскую мысль от рассмотрения природы к рассмотрению самого сознания. Эти два момента в значительной мере определяли форму и содержание софистики.

Софисты, как известно, были первыми греческими философами, которые получали вознаграждение за обучение. Платон и Аристотель упрекали софистов прежде всего в том, что они превратили науку в средство поддержания существования5 и тем самым уронили ее достоинство — до них она выступала в качестве самоцели. Характерно при этом, что среди софистов мало было математиков и «физиков»: этот род знания они не столько развивали, сколько популяризировали. В. Виндельбанд по этому поводу замечает: «При малой способности к самостоятельному творчеству софистика направляла всю свою энергию на обработку и слияние уже существующих теорий. Софисты работали прежде всего для того, чтобы сообщить результаты науки массе, приспособить их к ее потребностям»6.

Действительно, историческая миссия софистов состояла именно в «сообщении результатов науки массе», а это требует иной направленности ума, чем задачи собственно научного исследования, да и иных способностей: если для античного ученого были прежде всего необходимы сосредоточение на своем предмете, наблюдательность и склонность к умозрению, то для популяризатора — скорее дар красноречия, умение аргументировать свою точку зрения, а также при случае всенародно продемонстрировать как свое остроумие, так и полемические способности. Сразить противника неожиданным аргументом — независимо от того, насколько этот аргумент действительно имеет отношение к существу рассматриваемого предмета, — это способность, необходимая для того, кто обращается к широким массам, не имеющим достаточного знания об обсуждаемом предмете, и совсем не столь важная для ученого, имеющего дело с другим (или другими) учеными.

Именно потому, что софисты развили прежде всего искусство аргументации, искусство побеждать противника в споре, они, естественно, имели «малую способность к самостоятельному творчеству». Не удивительно поэтому, что образовательная деятельность софистов очень скоро выявила свою действительную природу: софистов стали рассматривать не как тех, кто может научить какой-либо науке или ремеслу, а как тех, кто может научить убедительно доказывать свою точку зрения независимо от того, в чем последняя состоит: «Главной своей задачей софистика поставила научную и риторическую подготовку к политической деятельности, причем софистическое обучение направлялось, с одной стороны, на техническое, формальное развитие речи, а с другой — на сообщение тех познаний, которые наиболее могли бы способствовать этой главной цели»7.

Для того чтобы выполнять эту задачу, необходимо не столько знание о природе, сколько знание о самом человеке, ибо для произнесения убедительной речи надо представлять себе, чт( именно действует на человека убеждающе. Софист, таким образом, по своему назначению должен быть прежде всего знатоком людей. И не случайно наиболее выдающиеся софисты обращаются от математики и «физики» к анализу человеческого сознания и изучают способы воздействия на него. При этом внимание их сосредоточивается на проблемах логики и языка. Так, по свидетельству Диогена Ћаэрциє, Протагор первый начал изучать способы доказательств8 и тем самым положил начало разработке формальной логики, а софисты, Гиппий и Продик, занимались исследованием языка (Продик — синонимикой, а Гиппий — грамматикой).

Как отмечает Лосев, софисты «создали какой-то небывалый в Греции культ слова и тем самым небывалое превознесение риторики, использующей слово для разных жизненных целей»9. Действительно, в своей «Похвале Елене» софист Горгий пишет: «Слово есть великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно незаметным телом, совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх изгнать, и печаль уничтожить, и радость вселить, и сострадание пробудить… А что сила убеждения, которая присуща слову, и душу формирует, как хочет, это должно узнать, во-первых, из учений метеорологов, которые, противопоставляя мнение мнению, удаляя одно мнение и вселяя другое, достигли того, что невероятные и неизвестные вещи являются очам воображения. Во-вторых же, <этому можно научиться> из словесных состязаний в народных собраниях, в которых <бывает, что> одна речь, искусно составленная, но не соответствующая истине, <более всего> нравится народной массе и убеждает ее»10.

Софисты были как «практиками» красноречия, так и теоретиками его. Впервые сделав предметом рассмотрения человеческое сознание, они сделали предметом анализа также и язык как орудие воздействия на сознание. Интересно, что софист Критий, ставший тираном, издал закон, запрещавший «учить искусству говорить», — надо полагать потому, что хорошо знал силу слова.

Благодаря своему интересу к языку и слову софисты положили начало той отрасли знания, которую теперь мы называем филологией. Особенно характерны в этом отношении исследования словесной семантики у софиста Продика, который занимался синонимами и омонимами. Как можно видеть, филология возникает в тот момент, когда внимание исследователя переключается с внешнего предмета на жизнь самого сознания, или, пожалуй, точнее было бы сказать, когда анализ человеческого сознания производится обособленно от его содержания, ведь и у натурфилософов мы находим соображения о природе человеческой души и о способности ума постигать истину, т.е. соображения, касающиеся природы знания и даже сознания, но эти соображения высказываются иначе, чем у софистов: душа человека в глазах натуралистов — такое же природное явление, как и любое другое, и рассматривается с помощью тех же «физических» (или — у пифагорейцев — «числовых») методов, как и всякий другой природный процесс. И только у софистов возникает специальный интерес и к тому, как совершается познавательный процесс, и к тому, как и по каким специфическим законам протекает жизнь сознания и с помощью каких средств можно влиять на нее в нужном направлении.

С этой новой точки зрения исследуют теперь софисты и язык. Характерно, что язык в качестве предмета теоретического исследования (филология и грамматика) выступил именно в тот период, когда он стал также важнейшим практическим орудием воздействия на сознание, т.е. когда стало складываться и культивироваться искусство словесных изощрений. Интересно также отметить, что софисты занимались изучением не только языка, но и литературы, так что, как говорит Лосев, «их можно даже назвать первыми представителями греческого литературоведения»11. Во всяком случае, ко времени софистов появилось то, что мы теперь называем литературной критикой, причем критическому анализу подвергалось не только творчество тех или иных поэтов, но и мифологические сюжеты. Именно литературной критикой можно назвать суждения Горгия об Эсхиле (В 24), Крития — об Анакреоне (В 1) или Протагора — о Гомере (А 29). Характерно при этом, что многие из софистов сами были поэтами; так, Гиппий, по сообщениям древних авторов, был мастером в различных литературных жанрах, Антифонт писал стихи и трагедии (А 4, 6, 9).

Все эти факты свидетельствуют о том, что предпосылкой появления как языково-филологических, так и литературно-критических изысканий является развитая рефлексия по поводу сущности и законов жизни самого сознания: оно полагается теперь как специфическая действительность. Анализ языка, мифологии, литературы предполагает, как видим, весьма развитую рефлексию сознания о себе самом — рефлексию, осуществляемую как с теоретическими, так и с практическими целями.

Таким образом, если интерес прежней, дософистической науки и философии был направлен на изучение бытия, то интерес софистов направлен прежде всего на выделение сознания как специфической реальности. Цицерон говорит о Сократе12, что тот свел философию с небес в города и дома, но это же относится равным образом ко всему греческому Просвещению, а значит, к софистам. Деятельность софистов действительно осуществлялась на городских площадях, в народных собраниях, в политических спорах и диспутах, на ораторских трибунах. Софисты — это «и философы, и ораторы, и драматурги, и поэты, и учителя красноречия, и дипломаты, и представители специальных дисциплин, и актеры на своих ораторских трибунах, и воспитатели молодежи, и законодатели, и профессиональные политики, и веселые анархисты, которым все нипочем…»13.

Социально-исторические предпосылки греческого Просвещения

Анализ деятельности софистов позволяет показать, что развитие науки определяется не только теми, кто непосредственно создает научные теории или делает открытия, — не в меньшей степени развитие науки зависит и от тех, кто оказывает влияние на изменение самих методов мышления, способов подхода к предмету. Это влияние может исходить из самых разных сфер жизни культурно-исторического организма; но если оно настолько сильно и глубоко, что способно изменить структуру сознания, то оно, несомненно, окажет влияние и на развитие науки.

Именно такой характер имела деятельность софистов. Эта деятельность знаменовала собой важный рубеж в жизни древнегреческого общества, не случайно она совпала с эпохой высшего развития афинской демократии. В Греции VI в. до н.э. мы наблюдаем постепенное разложение традиционного типа социальности, который, видимо, вначале не очень существенно отличался от традиционных обществ Востока, где было более или менее жесткое разделение сословий, каждое из которых имело свой веками установившийся уклад жизни и передавало как этот уклад, так и свои навыки и умения по традиции из поколения в поколение. В качестве той формы знания, которая была общей для всех сословий, выступала мифология, она и была той формой, которая объединяла все сословия в одну общность. Насколько можно судить по историческим документам, ни одно сословие не выступало как «сословие всеобщности», функция которого — связывать между собой все остальные. Даже сословие жрецов как на Востоке, так и в архаической Греции, хотя оно и осуществляло функции объединения, было прежде всего отдельным сословием со своими особыми задачами: жрецы приносили жертвы, делали предсказания, толковали изречения оракула. В этом смысле можно сказать, что религиозное сословие не было еще в полной мере сословием всеобщности, и, хотя принесение жертв было действием, объединяющим всех, чьим богам эти жертвы приносились, сама акция жертвоприношения была такой же сословной обязанностью жреца, как постройка кораблей — обязанностью корабельного мастера, а изготовление посуды — делом гончара. Именно эту сторону дела имеет в виду Гегель, когда говорит, что «религия не была у греков учительницей, так как она не была предметом преподавания»14.

Особенностью древних традиционных обществ того периода, когда еще не возникли ни мировые религии, такие, как буддизм, христианство, ислам, ни философские учения, ни наука в собственном смысле слова, было, по-видимому, отсутствие того слоя людей, того сословия, которое имело бы в качестве своей социальной функции осуществление связей между другими сословиями.

Тут мы можем провести одну характерную аналогию. Точно так же, как в древних традиционных обществах была очень малая потребность в экономическом посреднике между разными сословиями — купце, торговце, так же мала была потребность и в духовном посредничестве между ними, т.е. в такой прослойке, задачей которой было бы производство всеобщей формы сознания. Всеобщая форма сознания была представлена в мифологии, и древние певцы и сказители, не выступавшие как специальное сословие, выполняли эту функцию «посредничества». И точно так же, как по мере разложения традиционного типа обществ возрастает роль экономического посредничества, появляется целое сословие торговцев, менял и т.д., возрастает потребность и в «посредничестве духовном», посредничестве в сфере знания. Не случайно Платон характеризует софистов как «купцов», т.е. тех, «кто скупает знания и, переезжая из города в город, обменивает их на деньги»15. Софист, по его мнению, — это «что-то вроде торговца или разносчика тех припасов, которыми питается душа»16. 

Эта аналогия проводится Платоном вполне сознательно, и она не так уж далека от истины: Платон видит в софистах посредников между теми, кто создает знание, и теми, кто нуждается в нем. «…Софистика, — говорит Платон, — оказалась искусством приобретать, менять, продавать, торговать вообще, торговать духовными товарами, а именно рассуждениями и знаниями, касающимися добродетели»17.

В традиционных обществах способ передачи знания происходил преимущественно «по вертикали», т.е. от поколения к поколению. Циркуляция знаний от сословия к сословию, т.е. «по горизонтали», была, видимо, очень незначительной. Различные ремесленные «цехи» жили каждый своей почти замкнутой жизнью.

Кстати, именно в рамках такого типа обществ первоначально развивавшаяся математика как раз и выступала как один из видов ремесла, технико-практического искусства, которому обучалось определенное сословие — в Египте, например, сословие писцов.

Появление в Греции VI в. до н.э. философии свидетельствовало о том, что традиционное общество здесь начало разлагаться. Пожалуй, уже в лице первых философов, досократиков, мы имели самую раннюю форму, в какой выступало сословие всеобщности. Но, конечно, им было еще очень далеко до той развитой, зрелой формы, в какой это сословие всеобщности предстало в лице софистов.

Хотя между первыми греческими философами и софистами временной интервал совсем небольшой (Протагор родился около 480 г. до н.э. и был младшим современником Левкиппа и старшим — Демокрита), нельзя не отметить, что социально-политическое развитие Греции в этот период протекало настолько бурно, что даже полвека могли нести с собой большие изменения. «Греческая культура V в. до н.э., — пишет Лосев, — поражает всякого историка — да и не только историка — необычайно быстрым переходом от расцвета к упадку. В начале века перед нами еще юный полис рабовладельческой демократии, успешно побеждающий деспотическую Персию, в середине века — небывалый расцвет, о котором до сих пор не может забыть культурное человечество, расцвет всего на несколько десятилетий, а уже во второй половине века — это разложение, трагическая Пелопоннесская война, конец старых идеалов, захватнический колониализм Афин и аристократическое предательство Спарты, выступившей против Афин в союзе с деспотической Персией»18.

Этим бурным общественно-политическим развитием объясняется и необычайно напряженное развитие греческой философской мысли, прошедшей немногим больше чем за столетие несколько важнейших этапов.

Софисты появились и могли появиться только тогда, когда развитие греческой демократии уже сильно размыло те границы, которые существовали между сословиями. Оно, таким образом, разрушило прежние каналы трансляции если не технических навыков и ремесленных «рецептов», то бытового уклада и ценностных установок, ранее не подвергавшихся никакой рефлексии. Индивид почувствовал себя уже не просто членом своего «цеха», а самостоятельным лицом и осознал, что все, прежде принимавшееся им на веру, должно быть подвергнуто критике. Субъектом же критики и последним основанием всякой достоверности он стал теперь считать самого себя как индивида. Вот это выделение индивида как самостоятельной реальности и было той почвой, на которой только и могла появиться софистика. Несомненно, софисты способствовали дальнейшему развитию индивидуализма, релятивизируя все то, что прежде выступало в качестве традиционных истин. Софисты были в Греции особым слоем, если даже не особым сословием, осуществлявшим функцию связывания воедино всех остальных групп и индивидов; не случайно политическая деятельность и подготовка к ней была одним из основных занятий софистов19.

Потребность в образовании, которую таким путем удовлетворяли софисты, возникла, как видим, потому, что произошло переключение с трансляции знания «по вертикали» на трансляцию его «по горизонтали». Образование приходит на место обычаев.

В этом смысле очень показателен тот конфликт, в который часто вступали софисты с отцами своих учеников и который нам хорошо знаком в связи с судьбой Сократа: авторитет отцов, веками освященный и незыблемый в патриархальных обществах, переходил к софистам, учитель теперь призван заменить собой отца, он становится «духовным отцом» своего ученика. Это — столкновение двух цивилизаций, двух взаимно исключающих укладов жизни: традиционного, где начало «родовое» и «образовательное» еще соединены, где «род» и «смысл» слиты воедино, а потому род (отец) открывает человеку, как ему следует жить, учит его и ремеслу, и смыслу жизни, — и нового, «рационального», где род уже отделен от «смысла», где «смысл» выделился в самостоятельную сферу и принял облик учителя, взывающего не к родовому, а к разумному началу своего ученика. А отец, как воплощение «рода», должен теперь занять подчиненное место, он может теперь разве что передать сыну свои технические навыки, свое искусство, ремесло, но не свои «ценности», не «смысловые структуры». Что почитать, а что презирать, что любить, а что ненавидеть — все это теперь ученик узнает от своего учителя.

Даже обучение чисто хозяйственным навыкам, умению управлять своим домом, т.е. первейшее, чему раньше учил отец своего сына, теперь становится делом учителя — софиста. Вот характерное рассуждение об этом Протагора в одноименном диалоге Платона: «Когда Гиппократ придет ко мне, я не сделаю с ним того, что сделал бы кто-нибудь из софистов: ведь те просто обижают юношей, так как против воли заставляют их, убежавших от упражнений в науках, заниматься этими упражнениями, уча их вычислениям, астрономии, геометрии, музыке… а тот, кто приходит ко мне, научится только тому, для чего пришел. Наука же эта — смышленость в домашних делах, умение наилучшим образом управлять своим домом, а также в делах общественных: благодаря ей можно стать всех сильнее и в поступках, и в речах, касающихся государства»20.

По-видимому, мы здесь имеем двусторонний процесс, выделение особой области общественной деятельности, где индивид выступает как представитель всеобщего, а именно области политической жизни как таковой, и превращение сословий, имевших прежде свои нравы и свой уклад, в нечто частное и особенное. Поскольку этот уклад и эти нравы носят традиционный, древний, как бы естественно сложившийся характер и не подлежат обсуждению и критике, постольку они теперь воспринимаются как нечто косное, навязанное индивиду извне, не прошедшее суда его сознания, от чего необходимо освободиться.

Одним словом, индивид как представитель всеобщего действует теперь в другой сфере, нежели та, в которой он действует как представитель особенного сословия. Вот как об этом разделении всеобщего и частного начал говорит Сократ в платоновском диалоге «Протагор»: «…Я вижу, что когда соберемся мы в Народном собрании, то, если городу нужно что-нибудь делать по части строений, мы призываем в советники по делам строительства зодчих, если же по корабельной части, то корабельщиков, и так во всем том, чему, по мнению афинян, можно учиться и учить; если же станет им советовать кто-нибудь другой, кого они не считают мастером, то, будь он хоть красавец, богач и знатного рода, его совета все-таки не слушают… Значит, в делах, которые, как они считают, зависят от мастерства, афиняне поступают таким образом.

Когда же надобно совещаться о чем-нибудь касающемся управления городом, тут всякий, вставши, дает совет, будь то плотник, медник, сапожник, купец, судовладелец, богатый, бедняк, благородный, безродный, и никто его не укоряет как того, что, не получив никаких знаний, не имея учителя, такой человек решается все же выступать со своим советом…»21

Сократ в своем рассуждении исходит из того, что, хотя «мастерство» (сословное «умение») и общественные дела, касающиеся в равной мере каждого гражданина (всеобщая сфера) и разделены, никакой «науки» применительно к сфере общегражданских дел быть не может, ибо, если человек учится определенному ремеслу, то учиться «управлению городом» невозможно и не нужно. Протагор, напротив, доказывает Сократу, что коль скоро политические, общегосударственные дела существуют, то искусству вести их так же нужно учиться, как и всякому другому мастерству. И учителями в этом деле как раз и являются софисты. Наука же их состоит прежде всего в том, чтобы сделать людей образованными в гражданском отношении, а это понятие в софистике приобрело двойственный смысл. С одной стороны, сделать человека образованным означало научить его убеждать в своей правоте соотечественников, независимо от содержания защищаемой позиции, и в этом выразилась релятивистская подоплека принципа отнесенности всякой истины к субъекту: произвол индивида становится здесь руководящим принципом. Умение найти основание для любого утверждения — это то, за что критиковали софистов Сократ и Платон, упрекая их в том, что они поощряли частные интересы, умея с помощью тонкой аргументации представить частный интерес как всеобщий.

С другой стороны, как можно видеть из рассуждений Платона, софисты волей-неволей прокладывали путь к новой форме всеобщности — той, которую пытался найти ученик софистов — Сократ: они прокладывали путь к обретению такого знания, которое хотя и было бы опосредовано субъективностью индивида, но не сводилось бы к ней. Именно деятельность софистов, релятивизировавшая все предшествующее знание, положила начало поискам новых форм достоверности знания — таких, которые могли бы устоять перед судом критического сознания.

Элеаты и софисты содействовали превращению досократовского, еще во многом метафорического, способа мышления в логический способ мышления, характерный для послесократовской мысли. Логическая расчлененность понятий и метод доказательства — вот те важнейшие приобретения, которыми обогатилась научная и философская мысль, пройдя через горнило апорий Зенона и релятивизирующей критики софистов.

В лице софистов и затем Сократа философская мысль античности перешла от объективного изучения бытия к рассмотрению субъективной стороны познавательного процесса — к самому человеку и его сознанию. Это событие оказалось весьма плодоносным для дальнейшего развития философии и науки, благодаря ему наука приобрела новые методы и открыла для себя новые предметные области знания. Даже те естественнонаучные и математические теории, которые были созданы раньше, получили теперь новое обоснование и были включены в новую, иначе организованную систему понятий, и тем самым получили новое звучание.

Сократ: индивидуальное и надындивидуальное в сознании

Критика софистов положила конец непосредственному знанию: она требовала рефлексии, опосредствования, проверки всякого утверждения, требовала выносить на суд всякое непосредственное наблюдение, бессознательно приобретенное убеждение или дорефлективно сложившееся мнение. Софистика истребляла все непосредственное, воевала против всего того, что жило в сознании людей без удостоверения его законности. Отныне право на жительство имело только такое содержание, которое было допущено в сознание самим этим сознанием; все же, что проникло в него не этим законным путем, а через какие-то неконтролируемые сознанием каналы, т.е. то, что было усвоено бессознательно, должно быть исторгнуто как недостоверное, неистинное, а потом, может быть, частично и впущено назад — после проверки. В этом состоял радикальный рационализм софистики, который роднит ее с новоевропейским Просвещением.

Но что это за инстанция — мое сознание? Что значит «Я»? В чем состоит принцип, в соответствии с которым сознание осуществляет проверку всякого утверждения?

Судя по тому, что сообщают о софистах древние источники, среди них была очень сильна тенденция рассматривать субъект знания, рефлектирующее Я, судящую инстанцию как отдельного, обособленного индивида, наделенного известной чувственной организацией и ею определяемого. Так, по крайней мере, изображает позицию софистов Платон в диалоге «Теэтет». Протагор, один из наиболее выдающихся софистов, следующим образом формулирует принцип субъективной обусловленности всякого знания: «Мера всех вещей — человек, существующих, что они существуют, а не существующих, что они не существуют»22. То, что сознание здесь рассматривается прежде всего как носитель субъективности, можно заключить из дальнейших разъяснений Платона: «…он (Протагор. — П.Г.) говорит тем самым, что-де какой мне кажется каждая вещь, такова она для меня и есть, а какой тебе, такова же она, в свою очередь, для тебя»23. Если в самом деле наше знание определяется исключительно чувственным восприятием, которое всегда носит индивидуальный характер, то невозможно обнаружить никакой объективной характеристики предмета самого по себе, а только такая характеристика имела бы значение для всех познающих независимо от их индивидуальности.

При таком понимании рефлектирующей инстанции, т.е. человеческого «Я», рационализм софистов оборачивается в теории познания релятивизмом и скептицизмом, а в сфере нравственности, практического действия — произволом индивидуума, руководствующегося чувственными склонностями и не знающего иного верховного начала, кроме частного интереса.

Эта тенденция софистики, которая обнаружилась очень скоро, вызвала оппозицию по отношению к ней, но оппозицию двоякого рода. С одной стороны, раздавались критические голоса против самого принципа рефлексии, в защиту непосредственных, т.е. традиционных верований и древних обычаев, унаследованных от предков. В этом духе выступает, например, Аристофан в комедии «Облака» с критикой Сократа, которого он полностью отождествляет с софистами. С другой стороны, оппозиция по отношению к релятивизму возникла и внутри самой софистики, а именно в лице Сократа. Эта оппозиция выступала не против принципа рефлексии, а против индивидуалистического способа проведения этой рефлексии, против характерного для софистики понимания рефлектирующей, критической инстанции.

Согласно Сократу — насколько нам известна его позиция (главным образом из диалогов Платона), — релятивизм и скептицизм софистов вытекают из их понимания сознания как чего-то такого, что определяется чувственными склонностями и соответственно партикулярными стремлениями отдельного индивида. Весь философский интерес Сократа сосредоточивается на вопросе о том, что такое сознание. На первый взгляд оно принадлежит индивиду и, значит, должно определяться его индивидуальными особенностями, т.е. его чувственностью (психологией, как сказали бы мы сегодня), но при более глубоком рассмотрении индивид скорее сам принадлежит сознанию. Рефлектирующей инстанцией, т.е. субъектом как теоретического познания, так и практического действия, оказывается не он, как этот чувственный, отдельный, частный, своевольный и своекорыстный индивид.

Но если не он, то кто же? В сознании Сократ обнаруживает разные слои, состоящие с индивидом, носителем сознания, в весьма сложных отношениях, иногда даже вступающие с ним в неразрешимую коллизию, которая кончается трагически. Субъектом одного из слоев оказывается чувственный индивид — это хорошо показали софисты, и против них в этом смысле Сократу нечего возразить. Но кто является субъектом другого слоя — того, над которым индивид не властен, а который, напротив, сам властен над индивидом? Таков вопрос Сократа. Усилия Сократа сосредоточиваются на том, чтобы показать, что такой — загадочный — слой действительно существует и что индивид, как отдельное чувственное существо, не определяет ни его статуса, ни его содержания. И когда возникает требование представить какое-либо утверждение, убеждение, мнение на суд сознания, то в качестве судящей инстанции должен выступать именно этот слой, не зависящий от произвола индивидуального чувственного Я. Этот слой можно назвать надындивидуальным слоем в индивидуальном сознании. Анализ сознания как содержащего в себе оба эти слоя — это и есть, в сущности, диалектика Сократа.

Софисты, как мы теперь понимаем, выступили с критикой всех оснований старой цивилизации. Они видели порок этих оснований — нравов, верований, обычаев, устоев — в их непосредственности, которая и есть, в сущности, традиционность. Традиция имеет силу всегда лишь до тех пор, пока существует непосредственное доверие к ней. Она держится не силой оружия, не силой сознания, не силой логики и аргументов, а силой бессознательности, силой непосредственности. Непосредственность — это огромная мощь, против нее бессильны армия, оружие, прямое нападение. Но есть враг, против которого она беспомощна. Он тихо, сперва незаметно, подобно кроту, подрывает почву, на которой стоит традициє. Враг этот — жажда опосредования, стремление обосновать, доказать, найти для данного просто так — рациональное основание.

Непосредственность и опосредование — это принципы разных типов цивилизаций, и хотя, по-видимому, в истории эти два типа цивилизаций в чистом виде и не встречаются, но можно различать типы общества по преобладанию в них первого или второго принципа.

В традиционных обществах, несомненно, преобладало начало непосредственности, и это сказывается на самой форме знания, сложившегося в этих обществах: мифологические истины никогда не доказываются, а практически-технические сведения сообщаются в форме предписаний, своего рода «рецептов», указывающих, как надо выполнять те или иные действия. В этом отношении первые натурфилософские построения еще несут на себе печать знания, характерного для традиционных обществ: они так же лишены доказательства и систематического характера, как и мифологемы. В этом отношении интересно одно замечание Аристотеля, касающееся вопроса о том, что усвоение учебного материала происходит в зависимости от разных склонностей слушателей: «Какие у нас сложились привычки, такого изложения мы и требуем… И одни хотят, чтобы все излагалось точно, а другим точность не по душе или потому, что они не в силах связать <одного с другим>, или потому, что <по их мнению> это — крохоборство. В самом деле, есть у точности что-то такое, из-за чего она как при сделках, так и в рассуждениях кажется некоторым недостойной свободного человека»24. Наблюдательный Аристотель хорошо понимал, почему точность (т.е. доказательность и обоснованность каждого утверждения) раздражала людей, настроенных в традиционно-аристократическом духе. Как видно, точность в научных рассуждениях, как и при сделках, — это принцип нового, на рациональных началах построенного общества.

Из сказанного вытекают важные выводы.

Во-первых, философия возникает с переходом от традиционного общества с господствующим в нем принципом непосредственности к обществу, где господствующим становится начало опосредования. Мы это, в сущности, и наблюдаем в Древней Греции VI-IV вв. до н.э. Ибо доказательство, лежащее в основе математики древних греков, вне всякого сомнения, есть плод той духовной атмосферы, которой не было в традиционных типах общества.

Во-вторых, поскольку возникает опосредование всех человеческих связей и отношений через сознание, поскольку они все больше начинают регулироваться не с помощью традиционных, без всякой критической рефлексии усваиваемых нравов и обычаев, установлений и привычек, то знание становится одним из важных регулятивов социальных отношений. Знание становится тем самым необходимым моментом, без которого не может существовать теперь социальная общность. Именно потому, что человеческие поступки регулируются теперь сознанием, то, что определяет сознание, становится и определителем действий, поступков. Вот почему для Сократа и его ученика Платона проблема знания выступает как главная проблема нравственности, а философия, как ее понимает Платон, становится фундаментом государственной жизни.

В-третьих, и само знание теперь, при требовании рефлексии, опосредования, получает статус достоверного только в том случае, если оно дает себе отчет в своих основаниях. Непосредственное знание теперь не является в строгом смысле слова научным: в понятие философии и науки обязательно включается знание собственных оснований. На протяжении этого, с точки зрения исторической очень краткого, периода ломки одного типа общественной структуры и становления другого ее типа в напряженно ищущей философской мысли меняется способ осмысления того принципа, который мы назвали принципом опосредования. Первой философской школой, где возникла сознательная попытка осмысления этого принципа, были, видимо, элеаты. В логической форме поставленная проблема опосредования предстает как проблема отношения. Элеаты заявляют: бытие есть, а небытия нет. Нет ничего другого, кроме бытия. Это значит: бытие не может вступать ни с чем ни в какие отношения, поэтому оно неизменно, непреходяще, неподвижно, недробимо и т.д. Бытие как предмет интеллектуального созерцания дано непосредственно и никакого опосредования в себе не содержит. Всякое опосредование, всякая связь бытия с чем-то другим (чем само бытие) и определение через это другое, согласно элеатам, есть релятивизация; опосредование характерно для мира чувственного, оно невозможно в сфере истинного бытия.

В значительной степени с элеатами солидарны и софисты — с той, однако, существенной разницей, что они не признают ничего, кроме мира чувственного. Но в оценке последнего как чисто относительного мира, зависящего всегда от субъективности воспринимающего индивида, они с элеатами согласны. По Протагору, все есть опосредование, нет ничего непосредственного, а потому нет больше ничего самого по себе, ничего прочного и абсолютного — все релятивно, ибо все дано только в отношениях.

Эта проблема во всей ее остроте встала перед Платоном. Он попытался найти новое решение, связав ее с сократовскими поисками такого слоя сознания, который не зависит от индивида, а от которого зависит сам индивид.

 

Глава пятая

ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ

Сфера чувственного и сфера умопостигаемого: становление и бытие

Исходной темой размышлений Платона, которая была центральной у его учителя Сократа, является тема надындивидуального слоя в сознании индивида. Если такой слой существует, то надо вскрыть его природу и тогда, по убеждению Платона, можно будет показать несостоятельность субъективизма и релятивизма теории познания софистов.

В ранних так называемых сократических диалогах Платон много внимания уделяет этому вопросу (к полемике с софистами он обращается и в более поздний период — в таких диалогах, как «Софист» и «Теэтет»). Ход мысли Платона определяется в большой мере тем, что именно он должен опровергнуть. Софисты, как мы знаем, доказывали, что человеческое знание детерминировано индивидуальностью познающего, оно зависит от его чувственности, т.е. в конечном счете от его тела, а потому объективное знание, которое не было бы отнесено к чувственности разных тел, не существует. Платон вполне согласен с ними в том, что всякое знание, получаемое нами с помощью органов чувств, т.е. через тело, действительно является относительным. «…Когда душа пользуется телом, — говорит Сократ в диалоге «Федон», — исследуя что-нибудь с помощью зрения, слуха или какого-нибудь иного чувства (ведь исследовать с помощью тела и с помощью чувства — это одно и то же), тело влечет ее к вещам, непрерывно изменяющимся, и от соприкосновения с ними душа сбивается с пути, блуждает, испытывает замешательство и теряет равновесие, точно пьяная».

Различение индивидуального и надындивидуального слоев выступает, как видим, у Платона в форме различения телесного, чувственного начала в человеке и бестелесного, нечувственного, т.е. в форме различения тела и души. Когда душа находится под влиянием тела, она оказывается подчиненной тем состояниям, которые следует считать «телесными», а именно влечениям к изменчивым, тоже телесным вещам эмпирического мира. Но что же представляет собой душа, когда она не подвержена влиянию тела, а предоставлена самой себе? Она, согласно Платону, есть в этом случае размышление. Размышление — это состояние самой души, это ее стихия, когда она свободна от тела и неподвластна ему. «Когда же она (душа. — П.Г.) ведет исследование сама по себе, — продолжает Сократ, — она направляется туда, где все чисто, вечно, бессмертно и неизменно, и так как она близка и сродни всему этому, то всегда оказывается вместе с ним, как только остается наедине с собой и не встречает препятствий. Здесь наступает конец ее блужданиям, и в непрерывном соприкосновении с постоянным и неизменным она и сама обнаруживает те же свойства. Это ее состояние мы называем размышлением…»

Анализ сознания, начатый софистами, привел их в теории познания к убеждению в том, что всякая истина индивидуальна, а это в практически-нравственной сфере соответствовало убеждению в том, что индивид должен руководствоваться собственным частным интересом. Такая теория была адекватным осмыслением разложения до тех пор существовавшей общественной системы традиционного типа социальности, предполагавшей нерефлектированное сознание. Если признать рефлексию правомерной, но в то же время отказаться признать частный интерес индивида единственной реальностью, на базе которой должен быть построен новый тип общественных связей, новая форма социальности, то остается единственный путь: искать в самом сознании индивида то абсолютное, всеобщее и незыблемое начало, которое в традиционном обществе существовало в виде объективных нравов, обычаев, верований, не опосредованных индивидуальным сознанием, а принимаемых непосредственно. Этим путем и пошел Платон.

Такова та реальная — и социальная, и нравственная, и гносеологическая — проблема, попытка решить которую привела к появлению первой в истории человеческой мысли формы идеализма.

В сознании было обнаружено два слоя, радикально противоположных друг другу и, по крайней мере, на первом этапе развития платоновской философии ничем не опосредованных: бесконечная душа и смертное тело: «…Божественному, бессмертному, умопостигаемому, единообразному, неразложимому, постоянному и неизменному самому по себе в высшей степени подобна наша душа, а человеческому, смертному, постигаемому не умом, многообразному, разложимому и тленному, непостоянному и несходному с самим собою подобно — и тоже в высшей степени — наше тело».

Перед нами — ряд противоположных определений, во многом сходных с теми, какие мы уже видели у элеатов, одни характеризуют мир истинного, мир бытия, другие — мир иллюзорный, мир мнения:

божественное — человеческое,

бессмертное — смертное,

умопостигаемое — воспринимаемое чувствами,

единообразное — многообразное,

постоянное — изменчивое,

неразложимое — разложимое,

самотождественное — несамотождественное.

Все, что относится к миру видимого, зримого, а тем самым чувственного, принадлежит, по Платону, изменчивому, тленному, неистинному; напротив, к истинному миру относится незримое, безвидное, т.е. то, что постижимо умом.

Очевидно, что такому разделению двух слоев в человеческом сознании и двух сфер мира — чувственной и умопостигаемой — соответствует различный статус знания об этих двух мирах. И, действительно, все, что мы можем узнать относительно чувственного мира, имеет, согласно Платону, статус не истинного знания, а всего лишь мнения. «…Всякий раз, когда она (душа. — П.Г.) устремляется туда, где сияют истина и бытие, она воспринимает их и познает, а это показывает ее разумность. Когда же она уклоняется в область смешения с мраком, возникновения и уничтожения, она тупеет, становится подверженной мнениям, меняет их так и этак, и кажется, что она лишилась ума» (курсив мой. — П.Г.).

Поскольку все знание о природе, как оно было представлено в досократовской «физике» — натурфилософии, есть знание о том, что возникает и уничтожается, постольку оно, с точки зрения Платона, не может быть достоверным, истинным знанием о мире идей и должно быть отнесено к сфере изменчивого «мнения». При этом характерно, что, согласно Платону, изучение мира чувственного бытия без соответствующей установки не только не способствует познанию бытия истинного, незримого, неизменного, вечно пребывающего, но оно, напротив, мешает этому истинному познанию. Для того чтобы обратиться к познанию истинного бытия, «нужно отвратиться всей душой ото всего становящегося: тогда способность человека к познанию сможет выдержать созерцание бытия…».

Платон требует отвернуться от природы, отойти от нее в том виде, как она дана чувственному созерцанию, но отойти, чтобы выработать новые средства познания, которые позволят впоследствии подойти к ней гораздо ближе, чем это делали натурфилософы-досократики.

Критика натурфилософии досократиков

Рассмотрим теперь, в чем именно Платон видит несостоятельность натурфилософского объяснения природных явлений и в каком направлении он предлагает идти, чтобы создать истинную науку, достоверное знание. В диалоге «Федон» устами Сократа дается следующая характеристика натурфилософского знания: «В молодые годы, — говорит Сократ, — у меня была настоящая страсть к тому виду мудрости, который называют познанием природы. Мне представлялось удивительным и необыкновенным знать причину каждого явления — почему что рождается, и почему погибает, и почему существует. И я часто метался из крайности в крайность и вот какого рода вопросы задавал себе в первую очередь: когда теплое и холодное, взаимодействуя, вызывают гниение, не тогда ли, как судили некоторые, образуются живые существа? Чем мы мыслим — кровью, воздухом или огнем?.. Размышлял я и о разрушении всего существующего, и о переменах, которые происходят в небе и на земле, — и все для того, чтобы в конце концов счесть себя совершенно непригодным к такому исследованию». В результате таких объяснений, жалуется Сократ, он утратил понимание даже того, что до этого казалось ему понятным — «окончательно ослеп и разучился даже тому, что знал прежде».

Что же именно не удовлетворяет Платона в натурфилософских объяснениях? Как можно видеть из приведенного отрывка, Платон иронизирует по поводу понятий, которыми оперировала старая натурфилософия и которые, в сущности, носили метафорический характер. В самом деле, что значит «мыслить кровью, воздухом или огнем»? Разумеется, говоря о том, что мы мыслим, допустим, огнем, натурфилософ хотел тем самым показать, что из всех природных стихий огонь — самая легкая, быстрая, подвижная, и в этом его сходство с мышлением. Но ведь это чистая метафора, т.е. аналогия, а не логическое понятие. А всякая метафора фиксирует только одну сторону явления, и потому любое явление можно описать с помощью бесчисленного множества метафор, поскольку оно имеет бесчисленное множество сторон. Не случайно поэтому существовало почти столько же способов этого — метафорического — понимания явлений природы, сколько было самих натурфилософов: между их объяснениями не было и не могло быть согласия.

Второй особенностью натурфилософии, которая тесно связана с первой, является отсутствие в ней доказательства тех положений, которые выставляют натурфилософы. Метафорическое мышление, как это мы видим и в мифологии, не может быть доказывающим. В этом отношении мышление натурфилософов-досократиков родственно мифологическому. Натурфилософ может только показать, но не доказать: он может указать аналогию в виде определенного частного явления, которая им распространяется на весь мир вообще. Так, когда Фалес говорил, что все происходит из воды, он мог в качестве аргумента указать на живые существа, которые не могут ни возникать при отсутствии влаги, ни существовать без нее. Для них вода — необходимое условие их бытия, эта аналогия и должна служить у Фалеса способом показа истинности его философского учения: все — из воды.

Благодаря критической работе, проведенной элеатами и софистами, Платон теперь понимает, что мы можем иметь столько метафорических определений явления, сколько связей и опосредований имеется у этого явления, а этих связей бесконечно много. Поэтому, по словам Платона, те, кто оперирует метафорами, не имеют ничего прочного, тождественного себе, на чем они могли бы укрепить свои определения, чтобы последние не растекались, не расплывались в бесконечность. И в самом деле, определений одному и тому же явлению можно дать столько, сколько отношений с другими явлениями мы можем в нем заметить, ибо определение дается всегда через что-то другое, чем сам предмет. Вот как поясняет Платон эту мысль: «Теперь, клянусь Зевсом, — сказал Сократ, — я далек от мысли, будто знаю причину хотя бы одной из этих вещей. Я не решаюсь судить даже тогда, когда к единице прибавляют единицу — то ли единица, к которой прибавили другую, стала двумя, то ли прибавляемая единица и та, к которой прибавляют, вместе становятся двумя через прибавление одной к другой. Пока каждая из них была отдельно от другой, каждая оставалась единицей и двух тогда не существовало, но вот они сблизились, и я спрашиваю себя: в этом ли именно причина возникновения двух — в том, что произошла встреча, вызванная взаимным сближением? И, если кто разделяет единицу, я не могу больше верить, что двойка появляется именно по этой причине — через разделение, ибо тогда причина будет как раз противоположной причине образования двух: только что мы утверждали, будто единицы взаимно сближаются и прибавляются одна к другой, а теперь говорим, что одна от другой отделяется и отнимается!»

Трудно сказать яснее, чем Платон. Любое явление можно определить через что-то другое, а этих других — много; в примере с понятием двойки Платон показывает, что ее можно определить и как результат деления на две части одной какой-то единицы, и как результат сложения двух раздельно существовавших единиц. Но ведь тогда мы даем разные определения двойки, мы берем ее в разных отношениях, значит, и двойки наши будут разные.

Поэтому прежде чем что-либо определять, надо, по Платону, понять, что такое определение; прежде чем что-нибудь понимать, надо выяснить, что такое понятие; прежде чем мыслить, надо дать себе отчет в том, что такое мышление.

Эту задачу Платон ставит перед собой едва ли не во всех своих диалогах; но наиболее четко и последовательно он анализирует, что такое мышление, в диалоге «Парменид».

Проблема единого и многого и решение ее Платоном

Итак, перед Платоном стоит антиномия. Тезис ее сформулирован элеатами: истинно то, что тождественно самому себе, а тождественное себе не может ни изменяться, ни возникать и исчезать, ни двигаться, ни члениться на части — оно может только быть и быть тождественным себе. Тезис элеатов, если его выразить формально-логически, свелся бы, следовательно, к закону тождества: А есть А.

Платон полностью согласен с элеатами в том, что без наличия чего-то самотождественного (т.е., иначе говоря, без принципа тождества) невозможно никакое познание. «…Не допуская постоянно тождественной себе идеи каждой из существующих вещей, он (человек. — П.Г.) не найдет, куда направить свою мысль, и тем самым уничтожит всякую возможность рассуждения».

Но тут возникает другое соображение — антитезис, сформулированный софистами: то, что в состоянии познать человек, не может быть тождественно самому себе, ибо самотождественное — это то, что отнесено только к себе самому, а то, что мы называем познанием, есть отнесение познаваемого к субъекту познания. Значит, для того чтобы предмет был познаваемым, нужно, чтобы он был отнесен не к самому себе, а к познающему субъекту. Если выразить эту мысль на языке Платона, то надо сказать: то, что может быть познано, есть всегда другое (а не тождественное).

Стало быть, мы имеем два несовместимых утверждения: чтобы было возможно познание, нужно, чтобы предмет был тождественным себе и в то же время чтобы он не был тождественным себе — другими словами, нужно, чтобы он был отнесен только к самому себе и чтобы он был отнесен только к другому — познающему субъекту.

Эта же самая антиномия может быть сформулирована и по-другому, для понимания языка Платона мы должны рассмотреть и эту ее формулировку. Тождественное самому себе, а стало быть, неизменное, вечное, неделимое и т.д. бытие предмета не может быть дано среди явлений чувственного мира и должно быть вынесено за пределы последнего. Это бытие Платон называет идеей.

Вопрос о возможности познания этой идеи (или этих идей), т.е. о возможности ее вступить в отношение с познающим субъектом, ставится в этом случае как вопрос о том, как идея может быть связана с чувственным миром, в каком отношении с чувственным миром она может находиться. Как может нечто самотождественное вступить в контакт с чем-нибудь, кроме себя самого? Если оно вступит в этот контакт, то оно уже не будет самотождественным, неделимым, неизменным и т.д.; но если оно не вступит в этот контакт, то мир чувственный окажется совершенно непричастен ему и само оно станет совершенно недоступным познанию. Платон формулирует эту антиномию с максимальной остротой.

Поскольку идея есть нечто единое, а соответствующих вещей, т.е. чувственных воплощений этой идеи, будет множество, то отношения между идеальным и чувственным — это отношение между единым и многим.

Таким образом, полемика между элеатами и пифагорейцами по вопросу о едином и многом вновь возрождается у Платона, обогащенная еще одним аспектом, которого не было ранее, а именно аспектом гносеологическим.

Онтологически эта проблема формулируется так: как может единая идея воплотиться в множестве вещей, остается ли она после этого единым или становится многим? Гносеологически она формулируется так: как может единое быть предметом познания? Ведь, оказываясь познаваемым, оно вступает в контакт с познающим, а значит, перестает быть единым. А всеобщая, т.е. логическая, формулировка этого вопроса такова: как может единое — и может ли — быть многим?

С наибольшей полнотой эта проблема рассмотрена в диалоге «Парменид». Не случайно этот диалог является вершиной логической мысли Платона. Форма, в какой Платон рассматривает этот вопрос, сама по себе очень интересна. Он строит свое рассуждение по тому же принципу, по какому строится косвенное доказательство в «Ќачалах» Евклида, а именно: он принимает определенное допущение (гипотезу — Ўp»JesiV) и показывает, какие выводы следуют из этого допущения.

Гипотеза I. «Если есть единое, то может ли оно быть многим?» Ясно, что ответ должен быть отрицательным: единое — это единое, оно не может быть многим. А коль скоро мы приняли этот тезис, то мы должны согласиться, что:

а) единое не может иметь частей, а значит, не может быть целым, ибо целое — это то, что имеет части;

б) не имея частей, оно не может иметь ни начала, ни конца, ни середины, а поскольку начало и конец — предел каждой вещи, то единое — беспредельно, а также лишено всяких очертаний;

в) не имея частей, единое также не может находиться ни в самом себе, ни в другом; ибо, находясь в другом, оно охватывалось бы этим другим и касалось его многими своими частями; а находясь в себе, оно окружило бы само себя и таким образом раздвоилось бы на окружающее и окружаемое; следовательно, единое находится нигде, т.е. иначе говоря, нигде не находится;

г) опять-таки из-за отсутствия в нем частей единое не могло бы ни покоиться, ни двигаться, ни изменяться — в силу тех же аргументов;

д) самое парадоксальное, что единое, как показывает Платон, «не может быть тождественным ни иному, ни самому себе и, с другой стороны, отличным от самого себя или от иного».

То, что единое не может ни быть отличным от себя, ни быть тождественным иному, это понятно; ведь оно имеет только одно определение — быть единым, а для того, чтобы быть тождественным иному (или отличным от себя), оно должно соотнестись с другим, но никакого соотношения быть не может, пока дано только одно определение — единость. Всякое соотношение есть уже введение чего-то другого, а значит, несовместимо с исходной посылкой.

Но почему же единое не может быть тождественным самому себе? Потому что природа единого, говорит Платон, не та же, что природа тождественного: «Если бы единое и тождественное ничем не отличались, то всякий раз, как что-либо становилось бы тождественным, оно делалось бы единым и, становясь единым, делалось бы тождественным».

Мы можем истолковать это объяснение Платона в том смысле, что понятие тождественности предполагает акт соотнесения, сравнения двух предметов, т.е. определенное действие сознания, в то время как единое есть самое первое, то, без чего вообще ничего не может быть. Единое есть условие возможности всего остального, в том числе и тождественного.

Далее Платон доказывает, что единое не может быть ни равным, ни неравным себе (ибо для измерения необходима мера, отличная от измеряемого); оно не может быть причастно времени, ибо оно не имеет частей, а потому не может ни «становиться», ни быть в прошлом, настоящем и будущем. А поскольку быть причастным бытию можно только одним из этих способов, то единое, заключает Платон, «никаким образом не существует».

Таким образом, исходя из допущения единого, Платон получил парадоксальный вывод, что единого не существует. Если допустить единое само по себе, исключающее многое, то такое единое есть ничто: «Не существует ни имени, ни слова для него, ни знания о нем, ни чувственного его восприятия, ни мнения».

Характерно, что у Платона онтологическая характеристика совпадает с гносеологической: единое, взятое само по себе, не только не может быть познано, но его и не существует; «ни имени, ни слова» не существует для него потому, что для него нет и бытия. Это очень примечательное тождество — тождество бытия и знания. Единое, у которого есть именно этот предикат — предикат бытия, оказывается сразу в другом положении, чем единое, лишенное этого атрибута. Но тем самым Платон переходит к другой гипотезе.

Гипотеза II. Единое существует. «Итак, утверждаем мы, если единое существует, надо принять следствия, вытекающие для единого, какие бы они ни были».

Рассмотрим вкратце этот второй круг рассуждения. Его суть заключается в том, что теперь единое имеет предикат; этот предикат — бытие. Самое главное здесь в том, что бытие как предикат единого не тождественно самому единому, а потому, когда мы говорим «единое есть», мы тем самым произносим суждение: «А есть В», ибо если единое — А, то бытие — это не просто связка «есть», а это именно другое, чем единое, а значит, это — В. Вот как Платон формулирует это важнейшее положение: «Итак, должно существовать бытие единого, не тождественное с единым, ибо иначе это бытие не было бы бытием единого, и единое не было бы причастно ему, но было бы все равно что сказать «единое существует» или «единое едино». Теперь же мы исходим не из предположения «единое едино», но из предположения «единое существует» (курсив мой. — П.Г.).

Собственно, здесь уже все сказано; дальнейшее рассуждение только эксплицирует, выявляет то, что уже заключено в этой посылке Платона. А заключено в ней утверждение, что единое — не то же, что бытие; «единое» и «бытие» — это уже не одно, а два; а там, где налицо два, уже совершен переход, выход за пределы одного, единого; там, где два, уже возможно много; двойка у Платона не случайно выступает как начало множественности. Если появилось первое суждение: А есть В, то тем самым уже даны и все остальные: А есть С, А есть D и т.д. Главное — выйти за пределы «А есть А», и этот выход Платон осуществляет, говоря: единое существует или единое причастно бытию.

Постулировав, что «единое существует», Платон тем самым получил первую систему. Она, правда, еще очень простая, в ней связаны между собой всего два члена: «единое» — «бытие», и она может быть названа «существующее единое». Но как бы ни была проста и элементарна эта система, она уже содержит в себе принцип построения любой самой сложной системы, в которой может быть огромное множество членов, т.е. на языке Платона, частей. После того как «единое существующее» предстало как целое, «частями» которого являются «единое» и «бытие», ход мысли Платона, только что прослеженный нами, пойдет как бы в обратном порядке.

«Итак, если бытие и единое различны, то единое отлично от бытия не потому, что оно — единое, равно как и бытие есть что-то иное сравнительно с единым не потому, что оно — бытие, но они различны между собою в силу иного и различного».

Как понять это рассуждение? Платон хочет сказать, что единое отлично от бытия не потому, что оно единое, а потому, что оно выступает в системе «единое бытие», или «бытийствующее единое», т.е. в силу соединения с бытием как другим, чем само единое. Только так мы можем понять слова, что бытие и единое различны между собой в силу иного. Благодаря их соотнесенности, через которую единое вступает в отношение, появляется новое определение самого единого; оно есть иное.

Если, далее, «единое существующее» есть система, то она представляет собой целое, а «единое» и «бытие» — ее части; таким образом, в отличие от первой гипотезы, когда мы исходили из предпосылки «единое — едино», мы теперь можем говорить применительно к существующему единому о целом и его частях. А поскольку каждая из этих частей не стоит особняком, а есть часть целого, имя которому — «единое существующее», то каждая из частей причастна другой: единое не может быть без бытия как своей «части», а бытие — без единого. «Следовательно, — рассуждает Платон, — каждая из этих частей в свою очередь содержит и единое и бытие, и любая часть опять-таки образуется по крайней мере из двух частей; и на том же основании все, чему предстоит стать частью, всегда точно таким же образом будет иметь обе эти части, ибо единое всегда содержит бытие, а бытие — единое, так что оно неизбежно никогда не бывает единым, коль скоро оно всегда становится двумя… Что ж, существующее единое не представляет ли собой, таким образом, бесконечное множество?»

Следовательно, достаточно единому вступить в первое отношение, т.е. получить первый предикат — бытия, как образуется система из двух членов, которая, в сущности, уже содержит в себе систему из любого множества членов. Ибо два или, как говорит Платон в других диалогах, «неопределенная двоица» есть начало множественности. Где есть два, там всегда есть единое и иное, или, как сказали бы мы, единое и его отношение, а отношение имеет ту особенность, что оно порождает множественность. Как образно говорит Платон, «единое, раздробленное бытием, представляет собой огромное и беспредельное множество» (курсив мой. — П.Г.). Единое может оставаться единым только при условии, что его не существует. Если же оно существует, то оно — многое.

Теперь, вслед за Платоном, перейдем к следующему определению системы «существующее единое». Оно, как мы уже знаем, есть и целое, и части. Взятое в качестве целого, единое охватывает части; чтобы охватывать, оно должно быть ограниченным, хотя в качестве частей (т.е. со стороны своей множественности) оно бесконечно. «Существующее единое есть, надо полагать, одновременно и единое, и многое, и целое, и части, и ограниченное, и количественно бесконечное».

В качестве целого единое должно иметь части — начало, середину и конец; значит, оно причастно к какой-нибудь фигуре, «прямолинейной, круглой или смешанной», обладая этими свойствами, оно находится и в себе самом и в другом: «…поскольку единое — это целое, оно находится в другом, а поскольку оно совокупность всех частей — в себе самом».

Как уже видно из приведенного рассуждения, единое будет иметь противоположные определения; если его брать как целое — одни, а если как части — другие.

Единое оказывается, таким образом, и тождественным себе и нетождественным, равным себе и равным другому, больше себя самого (как объемлющее себя) и меньше (как объемлемое) — значит, единое «и равно, и больше, и меньше самого себя и другого». Теперь очевидно также, что единое будет причастно времени, хотя тут налицо будут противоположные определения: «…единое, с одной стороны, и есть и становится и старше и моложе себя самого и другого, а с другой — не есть и не становится ни старше, ни моложе себя самого и другого».

И все это оттого, что единое соотнесено с другим, а именно с бытием. Оказывается, быть — это и значит быть соотнесенным с другим, если мы хотим выразить бытие на языке мышления. Потому только единое может быть соотнесено с познающим индивидом, т.е. может быть познаваемым, что оно уже само по себе, независимо от познающего субъекта, соотнесено с другим. Платон очень хорошо показывает именно эту последовательность: соотнесенность единого с другим есть предпосылка его познаваемости. В силу того, что единому присущи все вышеперечисленные предикаты, — «поэтому, — пишет Платон, — возможно нечто для него и его и это нечто было, есть и будет… Возможно, значит, его познание, и мнение о нем, и чувственное его восприятие».

Так завершается второй круг рассуждения. В качестве предпосылки Платон выдвинул утверждение: единое существует. В результате оказалось, что в этом случае единое имеет противоположные определения, ибо с самого начала положение «единое существует» раскрывается как положение «единое есть многое». Но при этом следует еще один существенный вывод: единое познаваемо, если оно есть многое, т.е. если оно имеет предикат бытия.

Однако на этом размышление Платона еще не завершается. Он предпринимает новую попытку: посмотреть, какие выводы последуют из тех же самых посылок для иного, а не для единого.

Гипотеза III. Вот посылка третьего рассуждения: «Не рассмотреть ли теперь, что испытывает другое, если единое существует?»

Какие заключения вытекают для другого, если налицо система — «существующее единое»? Другое определяется как неединое (иначе оно не было бы другим); но поскольку оно должно быть понято, исходя из характера «отнесенного единого», а единое отнесено ни к чему более, как к другому, то понятно, что другое тоже будет отнесено к единому, т.е. они оба будут друг к другу причастны. Но нас здесь эта причастность интересует с точки зрения судьбы «другого». Что означает она для этого другого?

Как «другое», говорит Платон, оно должно быть отлично от самого единого. Единое — едино, значит, другое должно иметь части (т.е. быть многим). Но части в свою очередь не могут существовать, если нет целого, частями которого они являются. Часть не может быть частью многого — так выражает эту мысль Платон, иначе она и частью не будет, а станет чем-то беспредельным: ведь часть — это тоже что-то определенное, что-то одно, а значит, она причастна единому: «Части тоже необходимо причастны единому. Ведь если каждая из них есть часть, то тем самым «быть каждым» означает быть отдельным, обособленным от другого и существующим само по себе…»

Итак, если налицо система «существующее единое», то другое должно быть причастно единому и, как причастное, само должно быть целым и иметь части. Но поскольку оно при этом все-таки — другое, то это его определение несет с собой и свойство, противоположное тому, которое вытекает из его причастности единому. Это свойство — множественность. Всмотримся в эту множественность в тот именно момент (или с той именно стороны), в какой она не причастна единому.

«А что если мы пожелаем мысленно отделить от этого множества самое меньшее, что только возможно, это отделенное, поскольку и оно не причастно единому, не окажется ли неизбежно множеством, а не единым?» Значит, множественное «в тот момент, когда оно не причастно единому», представляет собой нечто весьма своеобразное: какую бы малую «часть» его мы ни взяли, она сама рассыпается, растекается на бесконечно многие «части», а потому ее даже нельзя назвать частью, ее вообще никак нельзя ни назвать, ни обозначить, кроме как беспредельностью, текучестью или, как ее еще характеризует Платон, «природой многого». То, что не причастно единому, не есть вообще «нечто», для него нет слова, нет «логоса», оно — алогично, неназываемо и неуловимо. «Если постоянно рассматривать таким образом иную природу идеи саму по себе, то сколько бы ни сосредоточивать на ней внимание, она всегда окажется количественно беспредельной».

Какой же вывод для другого следует из допущения, что «единое существует»? Аналогичный тому, какой мы получили из этой посылки для единого, а именно, что другому присущи противоположные определения: «Другое — неединое — как оказывается, таково, что если сочетать его с единым, то в нем возникает нечто иное, что и создает им предел в отношении друг друга, тогда как природа иного сама по себе — беспредельность». Определения «другого» потому и будут противоположны, что одни их них вытекают из его отличности от единого, а другие — из его причастности единому: «Поскольку… [другое] обладает свойствами быть ограниченным и быть беспредельным, эти свойства противоположны друг другу».

Но при этом, как мы уже знаем, другое является познаваемым; наличие противоположных свойств — не препятствие для познания, а условие его, поскольку это наличие вытекает из отнесенности различных моментов, из принципа отношения, простейшей формой которого является любое суждение: А есть В.

Проверка второго круга рассуждения подтвердила его правильность: выводы для другого — те же, что и выводы для единого.

Гипотеза IV. В четвертой гипотезе — та же посылка, что и в первой, только выводы снова должны быть сделаны не для единого, а для другого. «Если есть единое, что должно испытывать другое?»

Поскольку здесь единое берется как таковое, вне всяких определений, постольку у него нет никаких отношений, а значит, между ним и другим нет никакого посредствующего начала, они не находятся внутри одной системы. Платон это формулирует так: «Нет ничего отличного от них, в чем единое и другое могли бы находиться вместе». Единое, взятое безотносительно, т.е. не наделенное атрибутом бытия, как мы уже знаем из первого круга рассуждений, не имеет никаких частей; к тому, у чего нет частей, ничто не может быть причастным. Другое, не причастное единому, не является ни единым (что само собой понятно), ни многим: ведь, как мы уже знаем, чтобы быть многим, оно тоже нуждается в причастности к единому. Оно в этом случае вообще лишено каких бы то ни было определений, что вполне понятно, поскольку все определения предполагают отнесенность, а ее здесь быть не может.

Вслед за Платоном мы рассмотрели четыре разные гипотезы и проследили, какие заключения из них вытекают. Все четыре имели в качестве общей посылки допущение, что единое есть, хотя это есть и понималось в разном смысле.

Оставшиеся четыре гипотезы имеют другую общую посылку: единого не существует. Платон прослеживает, какие выводы вытекают из несуществования единого:

а) для самого единого по отношению к многому;

б) для самого единого по отношению к самому себе;

в) для многого по отношению к единому;

г) для многого по отношению к многому.

Гипотеза V. В первом, на наш взгляд наиболее трудном для анализа, рассуждении Платон доказывает, что если единое не существует, но мы о нем как о несуществующем все же ведем речь, а стало быть, приписываем единому некоторый предикат — пусть даже этим предикатом будет несуществование, то мы опять-таки получаем простейшую систему: «несуществующее единое». А это значит, что единое имеет предикат и, стало быть, получает все определения, которые имеет единое, когда оно наделено предикатом «бытия». Более того, самое интересное в этом рассуждении Платона состоит в том, что несуществующее единое «каким-то образом должно быть причастно и бытию» — иначе мы о нем вообще ничего не могли бы сказать.

Это соображение Платона проливает свет и на предшествующие его рассуждения. В каком же смысле, в самом деле, можно утверждать, что несуществующее единое причастно бытию? Разве это не абсурдное утверждение?

Мне кажется, что это утверждение Платона может быть истолковано следующим образом. Если мы вообще можем приписать единому какой-либо предикат — будь то существование или несуществование, то мы тем самым ставим его в определенную связь с чем-то другим, чем оно само. Ќаличие такой связи является первейшим условием того, чтобы мы вообще могли о нем что-то сказать, т.е. познать его: ведь и познание, называние словом — это на греческом языке передается термином «логос».

Значит, независимо от того, приписываем ли мы единому предикат «бытия» или «небытия», но если мы какой-то из них приписываем, т.е. произносим суждение «А есть В», то тем самым мы это знаем, раз об этом говорим. И в этом смысле — и только в этом — несуществующее единое «каким-то образом причастно бытию».

А вот когда мы говорим «единое есть» в смысле «единое есть единое», «А есть А», то в этом случае, хотя мы и не говорим, что «единое не существует», в результате экспликации содержания тезиса «единое есть единое» мы приходим к выводу, что о нем вообще ничего нельзя знать, ничего нельзя сказать и что оно, следовательно, непричастно бытию. И это потому, что оно определено с самого начала как лишенное всякого отношения.

Гипотеза VI. В этом втором случае тоже постулируется несуществование единого, но в другом смысле: в смысле отсутствия у единого какого бы то ни было предиката. Это — отрицательная форма того же самого допущения, которое в положительной форме дано в самом первом рассуждении: «единое есть (единое)». Выводы из этого допущения поэтому те же, что и выводы из первой гипотезы: о несуществующем едином ничего нельзя высказать, «несуществующее единое ничего не претерпевает».

Гипотеза VII. «Обсудим еще, каким должно быть иное, если единое не существует». В этом случае «не-существование» единого понимается в том же смысле, как и в рассуждении (а), где Платон исходил из системы «несуществующее единое». Иное, стало быть, соотнесено с несуществующим единым и определено этим соотнесением. Но в этой системе — «несуществующее единое» — положение с «иным» существенно отличается от того, которое мы описали в системе «существующее единое». Поскольку иное соотнесено, то в принципе мы о нем можем говорить, но поскольку оно соотнесено с несуществующим единым, то мы о нем можем говорить лишь неопределенно: наше суждение о нем будет бесконечным, оно будет суждением типа «А есть не В».

Какие же характеристики в результате этого получает иное?

«…Любые [члены другого] взаимно другие, как множества; они не могут быть взаимно другими, как единицы, ибо единого не существует. Любое скопление их беспредельно количественно; даже если кто-нибудь возьмет кажущееся самым малым, то и оно, только что представлявшееся одним, вдруг, как при сновидении, кажется многим и из ничтожно малого превращается в огромное по сравнению с частями, получающимися в результате его дробления».

Таким образом, по Платону, ситуация, которую демонстрировал Зенон, доказывая невозможность множества, возникает в том случае, если многое соотносится с несуществующим единым. В этом случае недостает того начала, благодаря которому множество приобретает характер определенного числа, а каждый член этого множества оказывается далее неделимым единством. Запомним этот вывод, он очень важен.

Итак, если многое соотнесено с «несуществующим единым», то оно приобретает те черты текучести, или, как сегодня часто говорят, «брезжущего смысла», когда невозможно остановиться ни на чем определенном, твердом, ограниченном.

Гипотеза VIII. Наконец, последний случай: «Чем должно быть иное, если единое не существует?» — Теперь несуществование берется в том же смысле, как и в гипотезе VI, а именно: единое вообще никак не отнесено к другому, не отнесено даже и как несуществующее. Какие выводы тогда следуют для иного? Раз нет никакой отнесенности, то понятно, что мыслить многое здесь вообще невозможно. Это заключительное рассуждение полностью повторяет начало диалога: там мы тоже имели дело с безотносительным единым.

«…Если единое не существует, то ничто из иного не может мыслиться ни как одно, ни как многое, потому что без единого мыслить многое невозможно… Если единое не существует, то и иное не существует и его нельзя мыслить ни как единое, ни как многое». Значит, если многое соотнесено с несуществующим единым, то его можно мыслить, о нем можно говорить, хотя оно и будет неопределенным; но если многое вообще не соотнесено с единым, то о нем ничего нельзя сказать, а это равносильно тому, что его нет. Свой диалог Платон заключает следующими словами Парменида: «Не правильно ли будет сказать в общем: если единое не существует, то ничего не существует? — Совершенно правильно», — отвечает его молодой собеседник.

Иными словами, все живет единым: если не его утверждением, то его отрицанием, если не положительной, то отрицательной связью с ним.

Диалог «Парменид» имеет огромное значение с точки зрения логико-философского обоснования античной науки. В этом диалоге Платон дал образец своей диалектики. Каким способом ведет Платон свое рассуждение? Как мы уже упоминали, он применяет здесь особый метод, какого мы не встречали ни у кого из его предшественников, за исключением разве что элеатов, а именно: он принимает определенное допущение, или гипотезу, и затем прослеживает, какие утверждения следуют из этой гипотезы. Этот метод получил впоследствии название гипотетико-дедуктивного, и значение его для развития науки трудно переоценить.

Именно Платон, как видим, был первым, кто применил этот метод: его дальнейшей логической разработкой мы обязаны Аристотелю, а его применением к математике — вероятно, современным Платону математикам: Архиту, Евдоксу и др. Во всяком случае, способ доказательства, которым пользуется Евклид в «Началах», построен по тому же образцу: делается определенное допущение на основе принятых аксиом и постулатов, а затем показывается, какие следствия должны вытекать из этого допущения.

Но применение этого метода у Платона и Евклида осуществляется по-разному, что хорошо демонстрирует сам Платон, однако схема, которой оба пользуются, одна и та же.

Соотнесенность единого и многого, или системный характер идеального мира

В диалоге «Парменид» Платон разрешает антиномию, поставленную перед научно-философской мыслью элеатами и софистами. Антиномия эта, как мы помним, формулировалась так:

тезис элеатов: истинно (и соответственно познаваемо) только то, что тождественно самому себе;

антитезис софистов: познаваемо и соответственно истинно только то, что не тождественно себе, не отнесено к себе, а отнесено к другому — познающему субъекту; поэтому всякая истина относительна.

Как решает эту антиномию Платон? Он, как мы видели, показывает, что условием познания (и не только познания, но, что важно, и самого бытия) единого является его соотнесенность с другим; а другое единого есть многое. И наоборот: условием познаваемости (и существования) многого является его соотнесенность с единым, без этого многое превращается в беспредельное (апейрон) и становится не только непознаваемым, но и не сущим (Платон, как мы знаем, часто называет беспредельное небытием, «ничто» — mЊ ‘n).

Так одновременно решаются оба вопроса: онтологический — как может единое стать многим, т.е. идея воплотиться в чувственный мир, и гносеологический — как может единое быть предметом познания, поскольку познание предполагает отнесение единого и себе тождественного к другому — субъекту знания.

Ответ гласит: единое есть многое, если оно мыслится соотнесенным с другим; а если его так не мыслить, то его вообще невозможно мыслить.

При этом необходимо иметь в виду, что эта соотнесенность есть характеристика самих идей. Платон подчеркивает, что именно в силу того, что в умопостигаемом мире идеи соотнесены друг с другом, что именно в логическом плане единое есть многое, они могут быть соотнесены и с чувственными вещами и становятся предметом познания. Платон предлагает обосновывать соотнесенность эмпирического мира с миром идей соотнесенностью идей между собой. Соотнесенность логосов определяет собой причастность к ним вещей и проистекающую из этой причастности взаимную связь, соотнесенность уже и самих вещей.

Эту свою основополагающую мысль Платон поясняет следующим образом: «Если кто примется показывать тождество единого и многого в таких предметах, как камни, бревна и т.п., то мы скажем, что он приводит нам примеры многого и единого, но не доказывает ни того, что единое множественно, ни того, что многое едино, и в его словах нет ничего удивительного, но есть лишь то, с чем все мы могли бы согласиться. Если же кто-то сделает то, о чем я только что говорил, то есть сначала установит раздельность и обособленность идей самих по себе, таких, как подобие и неподобие, множественность и единичность, покой и движение, и тому подобных, а затем докажет, что они могут смешиваться между собой и разобщаться, вот тогда, Зенон, я буду приятно изумлен. Твои рассуждения я нахожу смело разработанными, однако… гораздо более я изумился бы в том случае, если бы кто мог показать, что то же самое затруднение всевозможным способом пронизывает самые идеи, и, как вы проследили его в видимых вещах, так же точно можно обнаружить его в вещах, постигаемых с помощью рассуждения». Не случайно Платон здесь устами Сократа задает вопрос именно Зенону. Это и в самом деле тот пункт, в котором Платон пересматривает учение элеатов. У элеатов ведь единое выступает как начало ни с чем не соотнесенное, а потому противоположное многому, т.е. миру чувственному. Чувственный же мир для них противоречив, ибо в нем вещи «соединяются и разобщаются» одновременно. Платон же показывает, что это «соединение и разобщение», т.е. единство противоположностей, свойственно и миру умопостигаемому (т.е. тому, что элеаты называют «единым») и что лишь благодаря этому единое может быть и именуемым, и познаваемым. Если же его рассматривать так, как того требуют Парменид и Зенон, то оно будет вообще непознаваемым и безымянным, а значит, несуществующим.

Платон, таким образом, ставит идеи в отношение одна к другой и показывает, что только единство многого, т.е. система, составляет сущность умопостигаемого мира и она есть то, что может существовать и быть познаваемо.

Описывая метод, примененный им в диалоге «Парменид», Платон говорит о том, что разум здесь пользуется гипотезами, предположениями для того, чтобы постигнуть высшее начало: «Достигнув его (начала, которое уже не гипотетично. — П.Г.) и придерживаясь всего, с чем оно связано, он (разум. — П.Г.) приходит затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним».

Необходимо обратить внимание еще на один момент. Мы уже отмечали в ходе анализа диалога «Парменид», что Платон нигде не отрывает акт понимания, познания, от акта называния, именования. То, что невозможно воплотить в речи, в слове, является алогичным (al»gon), т.е. непознаваемым. Естественно поэтому, что анализ познавательных структур у Платона неотделим от анализа речи; структуры языка — это основные логические структуры мысли.

Нам представляется в этой связи вполне вероятным допущение, что тот способ рассмотрения соотношения единого и многого, который мы находим в диалогах Платона, впервые возник в греческой науке при анализе языка, т.е. у софистов. Не случайно же именно софисты были первыми греческими грамматиками и физиологами; возможно, именно они и раскрыли ту парадоксальную природу слова и предложения, которую впоследствии до конца выявил Платон. На тот факт, что именно анализ языка дал толчок к исследованию природы мышления как соотнесения единого и многого, указывает следующий отрывок из диалога «Филеб». «Мы утверждаем, — говорит Сократ, — что тождество единства и множества, обусловленное речью, есть всюду, во всяком высказывании; было оно прежде, есть и теперь. Это не прекратится никогда и не теперь началось, но есть, как мне кажется, вечное и нестареющее свойство нашей речи. Юноша, впервые вкусивший его, наслаждается им, как если бы нашел некое сокровище мудрости; от наслаждения он приходит в восторг и радуется тому, что может изменять речь на все лады, то закручивая ее в одну сторону и сливая все воедино, то снова развертывая и расчленяя на части…»

К своему удивлению, мы узнаем в этом юноше самого Платона, который в «Пармениде» именно тем и занимается, что «изменяет речь на все лады», то приводя все к единому, то снова раздробляя на множество. «Тут прежде и больше всего недоумевает он сам, а затем повергает в недоумение и своего собеседника…» Таким образом, оказывается, что не столько Платон ведет свой диалог, сколько диалог ведет Платона; не Платон ведет речь о едином и многом, а сама речь ведет Платона, заставляя недоумевать и удивляться не только его слушателей, но и его самого.

Благодаря переключению внимания с природы на человека, его сознание и язык — переключению, осуществленному софистами и Сократом, Платон смог осуществить переход к анализу логических связей, «связей смыслов», с тем чтобы потом от них вернуться к анализу «связи вещей».

Платон и пифагореизм

В своем учении о едином и многом Платон оказывается пифагорейцем. Он возвращается к пифагорейскому учению о том, что все существующее есть единство предела и беспредельного, — правда, возвращается уже на новой базе, подготовленной логической и теоретико-познавательной рефлексией. В отличие от пифагорейцев, для которых положение о числе как единстве предела и беспредельного возникло в докритической ситуации и еще не прошло через огонь зеноновской и протагоровской критики, Платон возвращается к этому положению уже на основе преодоления критической рефлексии как элеатов, так и софистов. Он принял эту критику внутрь своего учения, она присутствует теперь в нем в виде специально-логического фундамента, требующего отныне отличать сферу идеальных образований от мира чувственных вещей. Это различение, рожденное в силу необходимости преодолеть релятивизм софистики, отныне должно служить гарантией возможности истинного знания.

Платона роднит с пифагорейцами следующая черта: подобно тому как пифагорейцы рассматривают числа, Платон рассматривает единое (и вообще мир идей), а именно: не в качестве предиката чего-то другого, а в качестве субъекта, не в качестве сказуемого, а в качестве подлежащего. Действительно, как сообщает Аристотель, по мнению пифагорейцев, «ограниченное, неограниченное и единое — это… не свойства некоторых других физических реальностей, например огня или земли, или еще чего-нибудь в этом роде, но само неопределенное и само единое были <у них> сущностью того, о чем <то и другое> сказываются, вследствие чего число и составляло у них сущность всех вещей. В этом заключается существенная особенность раннепифагорейской теории, которая отличает пифагореизм, как мы уже показали, от древних натурфилософов, несмотря на то что с точки зрения логической непроработанности исходных понятий они весьма близки к натурфилософам.

В каком же виде предстает теперь у Платона пифагорейское учение и какое обоснование он дает науке о числе, т.е. математике? В диалоге «Филеб» Платон анализирует исходные принципы пифагорейцев, устанавливая их связь с понятиями своей философии.

Что такое беспредельное, если мы будем рассматривать это понятие не в соотнесении его с единым, как это делал Платон в диалоге «Парменид», т.е. не на языке логики, а применительно к эмпирическим явлениям и, так сказать, на их языке? «Посмотри, можешь ли ты, — обращается Сократ к Протарху, — мыслить какой-либо предел относительно более теплого и более холодного, или же обитающие в этих родах увеличение и уменьшение не позволяют дойти до конца, пока они в них обитают… Наша речь всегда обнаруживает, следовательно, что более теплое и более холодное не содержат конца; а если они лишены конца, то, несомненно, они беспредельны».

Значит, беспредельное есть все то, о чем можно сказать только «больше» и «меньше», а сюда относится все, что мы называем более или менее теплым, более или менее красным, более или менее сладким и т.д., т.е. все то, что имеет неопределенно-количественную характеристику и не допускает строгого определения.

Именно из-за того, что «более или менее» является главным признаком беспредельного, Платон и называет беспредельное «неопределенной двоицей»: беспредельное всегда есть «более или менее», оно всегда имеет эти два значения и не может принять одного значения, не может определиться. Определить что-то значит остановить это бесконечное колебание «более — менее», значит установить одно значение — предел.

Предел, будучи соотнесенным с беспредельным, вносит в него некоторую меру, создает мерное отношение, т.е. отношение равного, двойного, тройного и т.д. Мерное отношение, мера — это, по словам Платона, то, что возникает из «смешения» предела с беспредельным. Мера означает «согласие» противоположных начал — предела и беспредельного, а это согласие как раз и порождает число. Число, таким образом, есть единственное средство, с помощью которого можно остановить «качание» беспредельного и определить предмет.

Интересно размышление Платона о том, когда и почему возникает у индивида потребность, заставляющая его искать способ поставить предел беспредельному. Это, в сущности, размышление о том, когда и почему возникает надобность в научном исследовании того или иного явления. Вот к каким выводам он приходит: если чувственное восприятие не дает нам определенного и недвусмысленного указания на то, что такое находящийся перед нами предмет, то возникает необходимость обратиться к мышлению — и таким путем возникает наука. Приведем это рассуждение Платона ввиду его существенного значения для нашей темы. «Кое-что в наших восприятиях, — говорит Сократ, — не побуждает наше мышление к дальнейшему исследованию, потому что достаточно определяется самим ощущением; но кое-что решительно требует такого исследования, поскольку ощущение не дает ничего надежного… Не побуждает к исследованию то, что не вызывает одновременно противоположного ощущения, а то, что вызывает такое ощущение, я считаю побуждающим к исследованию». Разъясняя сказанное, Платон заключает, что «ощущение, назначенное определять жесткость, вынуждено приняться и за определение мягкости и потому извещает душу, что одна и та же вещь ощущается им как жесткая и как мягкая… То же самое и при ощущении легкого и тяжелого…». Таким образом, ощущение дает одновременно противоположные сведения, и оказывается необходимым ввести степень жесткости или мягкости, легкости или тяжести вещи, не прибегая уже к одному только свидетельству ощущения. Субъективный критерий должен быть заменен объективным, и здесь в дело должно вступить мышление.

Согласно Платону, переход от восприятия, ощущения к мышлению предполагает весьма серьезную операцию, которая на языке платоновской философии носит название перехода от становления к бытию. Становление, согласно Платону, это то, что неуловимо, не поддается твердой фиксации, что ускользает, меняется на глазах, предстает «то как мягкое, то как жесткое», о чем, стало быть, невозможно высказать нечто определенное. Для того чтобы стало возможным остановить этот поток, выделить в нем нечто одно, отличить его от другого, измерить его в каком-либо отношении, необходима какая-то другая реальность, которая позволяла бы осуществить применительно к ней подобные процедуры, или, лучше сказать, необходимо допустить такую реальность, которая была бы онтологическим условием возможности осуществления этих операций. Эту-то реальность Платон называет бытием.

Мера есть посредник между сферами бытия и становления. Мера же необходимо связана с числом.

Именно число, а не само единое («предел») является средством постижения чувственного мира. «Воспринявший что-либо единое, — говорит Платон, — тотчас после этого должен обращать свой взор не на природу беспредельного, но на какое-либо число; так точно и наоборот: кто бывает вынужден прежде обращаться к беспредельному, тот немедленно вслед за этим должен смотреть не на единое, но опять-таки на какие-либо числа».

Поясняя свою мысль, Платон приводит пример, который для нас очень интересен, поскольку показывает, во-первых, ту сферу, из которой Платон чаще всего заимствует свои «модели», а во-вторых, очень точно обрисовывает его представление о задачах науки: «Первоначально некий бог или божественный человек обратил внимание на беспредельность звука. В Египте, как гласит предание, некий Тевт первый подметил, что гласные буквы [звуки] в беспредельности представляют собою не единство, но множество; что другие буквы — безгласные, но все же причастны некоему звуку и что их также определенное число; наконец, к третьему виду Тевт причислил те буквы, которые сегодня называются немыми. После этого он стал разделять все до единой безгласные и немые и поступил таким же образом с гласными и полугласными, пока не установил их числа и не дал каждой в отдельности и всем вместе названия «буква» [«первоначало»]. Видя, что никто из нас не может научиться ни одной букве, взятой в отдельности, помимо всех остальных, Тевт понял, что между буквами существует единая связь, приводящая к некоему единству. Эту связь Тевт назвал грамматикой — единой наукой о многих буквах» (курсив мой. — П.Г.).

Отрывок этот, во-первых, еще раз свидетельствует о том, что в поле зрения Платона постоянно присутствует стихия языка и наука о языке, грамматика, служит примером того, как возникает единство многого — система, внутри которой только и может быть выделен (определен) каждый отдельный звук. Обнаружение единства в звуках впервые сделало возможным из бесчисленного их множества (ибо любой звук, в сущности, произносится по-разному каждым человеком, не говоря уже о различии одних и тех же звуков в разных диалектах даже одного языка) выделить определенное их число и тем самым построить систему взаимно отличных, но связанных в единое посредством числа букв.

Теперь критика натурфилософии приобретает у Платона логическую базу: натурфилософы оперировали в своих построениях такими понятиями, как «влажное и сухое», «холодное и теплое», «сладкое и горькое», «твердое и мягкое». Исходя из этих противоположностей, они давали определение и объяснение природных явлений и процессов. Но эти определения, согласно Платону, не могут дать никакого доказательного знания, ибо они в строгом смысле слова определениями не являются. Натурфилософы, в сущности, имели дело с неопределенно-количественными характеристиками, с теми самыми «более или менее», которые не могут «ухватить» определяемый предмет, не могут ввести его в твердые границы, ибо не располагают для этого мерным отношением — числом. Согласно Платону, натурфилософы имели дело с беспредельным, отсюда и фантастичность, произвольность их построений.

Только такое познание может претендовать на достоверность, которое осуществляется с помощью числа. Такова математика. Платон полностью согласен с пифагорейцами в том, что математическое знание, знание о мерных отношениях, является единственно достоверным в противоположность тем мнимым знаниям, т.е. мнениям, которые именовались во времена Платона «физикой».

Известно, что при входе в платоновскую Академию была надпись: «Не геометр — да не войдет». Те, кто не были сведущими в музыке, геометрии и астрономии, вообще не принимались в Академию. Диоген Лаэрций сообщает, что возглавлявший Академию Ксенократ сказал человеку, не знакомому ни с одной из названных наук: «Иди, у тебя нечем ухватиться за философию». Не удивительно поэтому, что среди учеников Платона были крупные математики — такие, как Архит, Теэтет, Евдокс.

Число как идеальное образование

Теперь рассмотрим, каков онтологический статус числа у Платона. Число — это единство предела и беспредельного. Мы знаем уже, что такого рода единство противоположных начал Платон усматривает не только в чувственных вещах; соотнесенность единого и иного должна иметь место также и в сфере идеального — того, что постигается лишь с помощью мысли. Естественно поэтому, что число — это идеальное образование, возникшее в результате связи противоположностей.

Таким образом, в отличие от пифагорейцев, у которых не существовало различия чисел и вещей, Платон такое различие устанавливает. «Он, — читаем у Аристотеля, — полагает числа отдельно от чувственных вещей, а они (пифагорейцы. — П.Г.) говорят, что числа — это сами вещи, и математические объекты в промежутке между теми и другими не помещают. Установление единого и чисел отдельно от вещей, а не так, как у пифагорейцев, и введение идей произошло вследствие исследования в области понятий (более ранние философы к диалектике не были причастны)».

Но что такое «математические объекты», или «математические вещи», как их называет Аристотель? Чем они отличаются от чисел, которые Платон считает идеальными образованиями? Почему Платон, по словам Аристотеля, помещает эти самые «математические объекты» в промежутке — между миром идеального и чувственным миром, т.е. между числами и вещами?

Обратимся за разъяснением вопроса о природе чисел и «математических объектов» к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему собеседнику: «»Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. — П.Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, — то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей?» — как ты думаешь, что они ответят?

— Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться» (курсив мой. — П.Г.).

Итак, число — это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно, а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти «единицу, которая ничем не отличалась бы от другой» — любой предмет чувственного мира, любая чувственная «единица» отличается от другого предмета, от другой «единицы», тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из предметов мыслится как «один», а «один» равен «одному» только в мире идеализаций. Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не отличаются от идей («суть идеи», как говорит Аристотель).

Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто мыслительного образования является положение о принципиальной неделимости единицы — неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как логическое начало. Согласно Платону, наука о числах «влечет душу ввысь и заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская, чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами. Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими долями одного».

Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению. Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и многого, поскольку многое — это множество единиц. Единицу нельзя разделить на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал в заключительных словах к диалогу «Парменид»: «Если единое не существует, то ничего не существует».

Что же, однако, такое «математические вещи», или «математические объекты», о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел? Вот что говорит об этом Платон: «Когда они (геометры. — П.Г.) пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи, от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным взором» (курсив мой. — П.Г.).

Рассматривая эти соображения Платона в своей истории античной математики, Б.Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть согласны здесь с Платоном. «И действительно, — пишет Варден, — для прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять, является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью».

Платон, таким образом, различает геометрические фигуры, как они представлены на чертеже, и «фигуры сами по себе», т.е. такие, которые «можно видеть лишь мысленным взором». Видимо, последние как раз и есть те «математические вещи», которые, по свидетельству Аристотеля, Платон отличает от чисел и которые он считает промежуточными, помещая их между миром идеального и чувственным миром.

«Математические объекты», стало быть, — это те образования, которыми оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия, это фигуры: окружности, треугольники, четырехугольники — и их элементы: радиусы, углы, диагонали, биссектрисы и т.д., т.е. линии и плоскости, по-разному сконструированные. К математическим Платон относит и «объекты» стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону, объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия, чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т.д., но и вырезанные из дерева или из камня шары, кубы, пирамиды. Видимо, в этом смысле Аристотель и говорит, что Платон считает числами и вещи, и причины вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, что воплощаются в вещах, считает производными от первых. Точно так же и с геометрическими объектами: те вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает чувственными подобиями идеального шара или куба, так же как чувственными подобиями геометрических фигур являются их чертежи.

Понятие пространства у Платона и онтологический статус геометрических объектов

Но почему же числа и геометрические объекты оказываются у Платона имеющими разный статус: числа — чисто идеальные сущности, а линии, углы, фигуры — сущности «промежуточные»? В соответствии с этим различением арифметика выступает у Платона и Аристотеля как первая в ряду математических наук и наиболее среди них «простая», а тем самым и более достоверная, чем геометрия. В чем коренится такое различие между арифметикой как наукой о числах и геометрией как наукой о «фигурах»? Оно коренится в том, что числа и числовые отношения геометрия представляет в виде определенных пространственных образов, схем, т.е. фигур.

Пифагорейцы по той причине, видимо, не различали числа и вещи, что они считали единицу, имеющую определенное положение в пространстве (т.е. точку), вещью; поскольку эмпирический мир вещей — это мир пространственный, то единица, становясь точкой, тем самым выступает как элемент пространственного, а значит, эмпирического мира.

Показывая, что геометрические конструкции по своему статусу отличаются от вещей чувственного мира, Платон в то же время не может отождествить их с собственно идеальными объектами, каковы числа. Пытаясь найти онтологический статус геометрических объектов, он приходит к мысли о том, что пространство — стихия геометрии — есть нечто среднее между идеями и чувственным миром.

Насколько нам известно, Платон впервые в античной науке вводит понятие геометрического пространства; до него античная философия не отделяла сознательно пространство от его наполнения, за исключением разве атомистов, но они определяли пространство физически — как пустоту, отличая ее от атомов как «полного». И не только доплатоновская, но и послеплатоновская научно-философская мысль в лице Аристотеля и его учеников не признавала пространства в том виде, как его понимал Платон; пространство выступает у Аристотеля как «место», а это понятие радикально отличается от геометрического пространства Платона.

Поскольку понятие пространства, впервые формирующееся у Платона, имеет очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов, поскольку оно, далее, тесно связано с платоновским обоснованием математики, мы рассмотрим его здесь подробнее. В диалоге «Тимей» Платон следующим образом определяет пространство: «…приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя — ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее посредством мнения, соединенного с ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство (є cиra): оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно».

Пространство, как видим, определяется Платоном как нечто отличное, с одной стороны, от идей, постигаемых мыслью (n»hsiV), которые мы назвали бы по этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус единственно истинного бытия), а с другой — от чувственных вещей, воспринимаемых «ощущением» (aЗsJhsiV). Пространство лежит как бы между этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо, неизменно — более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно — как «незаконное умозрение» (°pt’n logismщ tinИ n»JJ). Переводя это выражение Платона как «гибридное рассуждение», Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой мы постигаем пространство, есть некий гибрид, «помесь» между мышлением и ощущением.

Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне: «Мы видим его (пространство. — П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто это бытие непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует».

Сравнение «незаконнорожденного» постижения пространства с видением во сне, очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение не однажды. В диалоге «Государство», говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: «Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. — П.Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?»

Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время не можем постигнуть в понятиях, — и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом для геометров.

Почему, говоря о пространстве, Платон постоянно прибегает к образу сна? Невольно приходит на ум известный платоновский символ пещеры: ведь узники в пещере принимают за истину «тени проносимых мимо предметов», так же точно как человек во сне принимает за реальность лишь «тени». Пространство в этом смысле у Платона — это не тени, т.е. не чувственные вещи, а как бы сама стихия сна, пространство — это сам сон как то состояние, в котором мы за вещи принимаем лишь тени вещей. И так же, как, проснувшись, мы воспринимаем виденное во сне несколько смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно как бы брезжит, не позволяет себя схватить и остановить, определить, — так же не дает себя постигнуть с помощью понятий разума и пространство.

Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то «начало», которого сами геометры «не знают» и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.

Платон и «Начала» Евклида

В первой книге «Начал» Евклид формулирует исходные положения геометрии, которые не могут быть доказаны, но на базе которых только и могут быть получены остальные — выводные — положения. Эти недоказуемые утверждения Евклид подразделяет на три группы: определения («roi), постулаты (aДtїmata) и общие понятия — аксиомы. У самого Евклида эта третья группа положений носит название koinaИ Ьnnoiai — «общие представления», «понятия»; на латинский язык это выражение обычно переводили как «communes animi conceptiones» — «общие понятия души». У Прокла в комментарии к Евклиду первая группа положений называется также гипотезами (џp»JesiV), а третья группа положений носит название аксиомы (ўxiиmata).

На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются определения от постулатов и аксиом?

Рассмотрим сначала, что такое определения, или допущения (гипотезы), как их именует платоник Прокл. В первой книге Евклида их 23. Они в свою очередь могут быть подразделены на две группы. В первой группе (определения 1-9, 13, 14) вводятся исходные понятия геометрии — точка, линия, прямая линия, поверхность, плоскость, угол, граница, фигура. Ко второй группе принадлежат определения основных геометрических фигур — прямого, тупого и острого углов, круга, разного вида треугольников и четырехугольников, параллельных прямых.

Что касается определений первой группы, то, как отмечает М.Я. Выгодский, «с древнейших времен и до наших дней эти определения в наибольшей степени были предметом критики». Приведем главнейшие из определений этой первой группы.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

3. Концы же линии — точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же поверхности — линии.

Очевидно, именно такого рода определения имеет в виду Платон в следующем своем рассуждении: «Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно».

Таким образом, термин «roi, или ЎpoJЪseiV, переводимый на русский язык как «определения», означает скорее «гипотезы», т.е. предположения, допущения, которые далее не доказываются. Как поясняет Аристотель, определения «ничего не говорят о том, существует ли данный предмет или нет», и это, надо полагать, их специфическое отличие от постулатов. Точно так же ничего не говорят о существовании определяемого предмета и аксиомы, т.е. «общие понятия».

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

Как нетрудно видеть, все аксиомы, кроме 7-й и 9-й, одинаково могут быть отнесены как к геометрии, так и арифметике; что же касается 7-й и 9-й, то Л. Хис считает их позднейшей вставкой, и его мнение разделяет М.Я. Выгодский.

Аксиомы, как и определения, ничего не говорят о существовании определяемого ими объекта. Отличие определений от аксиом легко заметить: определения имеют более специальный характер, они вводят именно геометрические объекты, аксиомы же (по крайней мере 1Ч6-є и 8-я) могут иметь значение и для геометрии, и для арифметики, т.е. носят более общий характер. Это различие подтверждается и тем, что Евклид формулирует специальные определения в начале каждой из книг своего сочинения; что же касается аксиом, то они предпосылаются сразу ко всем книгам.

По этому принципу отличал определения от аксиом и Аристотель. В «Аналитике второй» читаем: «Из тех начал, которые применяются в доказывающих науках, одни свойственны каждой науке в отдельности, другие — общи всем… Свойственным <лишь одной науке> является, например, то, что линия — такая-то и прямое — такое-то. Общее же, например, то, что если от равного отнять равные <части>, то остаются равные же <части>. Каждым из таких <общих положений> можно пользоваться, поскольку оно относится к роду, подчиненному данной науке, ибо оно будет иметь одинаковую силу, если и не брать его для всего <подходящего>, но <в геометрии> — в отношении величин, а в арифметике — в отношении чисел». И действительно, аксиомы у Евклида формулируются в самом начале; что же касается определений, то они свои в начале каждой книги.

Иной характер, чем определения и аксиомы, носят постулаты. Греческий термин aДtїmata означает «требования». Постулаты, как и аксиомы, имеют общее значение: они перечислены в начале I книги и имеют силу для всех книг Евклида, где речь идет о геометрических объектах. Относительно количества постулатов очень много спорили уже в эпоху эллинизма и вплоть до нашего времени. По этому вопросу существует специальная весьма обширная литература, но мы рассмотрим его лишь с интересующей нас стороны.

Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка, который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский, «соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно, совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно думать, что нижеприводимые постулаты… содержались в оригинале «Начал». Вот их список.

Требования

1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.

2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.

3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.

4. И что все прямые углы равны.

5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с той стороны, с которой углы меньше двух прямых».

Анализ евклидовых «Начал» неоплатоником Проклом

Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к «Началам» Евклида говорит, что 4-й и 5-й постулаты — это, в сущности, не постулаты. «…ѕоложение, что все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых, то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат углы, меньше двух прямых». Как аргументирует Прокл свое утверждение? «Это положение, — говорит он, имея в виду 5-й постулат, — не применяется в качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых, исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению, положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: «Две прямые не содержат пространства»), — положение, которое также теперь некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов».

Это рассуждение Прокла в сущности уже содержит различение аксиом и постулатов — различение, которое нас как раз и интересует. Из слов Прокла можно понять, что к постулатам он причисляет лишь те положения, которые ставят требования что-то найти или сконструировать; по этой причине отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и о пересечении двух непараллельных прямых при их продолжении (5) он постулатами не считает. В то же времє Прокл не согласен считать аксиомой положение 9, относимое, как он говорит, «некоторыми» к аксиомам: ведь оно трактует о поверхности (пространстве) и тем самым «принадлежит к геометрической материи». Заметим характерное выражение: геометрическая материя.

Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы — от проблем: «Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи (проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур, разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать (vornehmen); последние указывают существенные свойства… Если кто-то формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном, отрезке построить равносторонний треугольник — это тоже проблема, ибо можно построить также и неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать, что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны».

Таким образом, теорема — это теоретическое утверждение, в котором определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с необходимостью.

Проблема же — это скорее практическая задача, которая выполняется определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является то, что требуемое построение — отнюдь не единственно возможное: при заданных условиях можно осуществить и другое построение.

Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет неистинным; к проблеме же определение «истинно — неистинно» не может быть применено.

Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к рассмотрению аксиом и постулатов. «Общим для аксиом и постулатов, — пишет он, — является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном методе и ни в какой конструкции».

Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-є), то с различением, которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.

Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом, учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства существования геометрических объектов. «…Платоники, — пишет Цейтен, — утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его, Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого построения».

Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения, ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим образом: «Основное значение геометрического построения заключается в доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению которого приводит это построение». К этой позиции присоединяется и сам Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства существования геометрических объектов: первый постулат — доказательство существования отрезка прямой, второй — неограниченно продолженной прямой, третий — круга.

И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином «придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften) приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как, например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с данной стороной… Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся, поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем. Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в каком отношении он находится к другому объекту».

В приведенном отрывке мы находим положения, проливающие дополнительный свет на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту, например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую идею, а «берем вечно-сущее как нечто становящееся». Главное расхождение Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления — как деятельность (т.е. как построение) или как познание.

На этот момент, во-видимому, Цейтен не обратил достаточного внимания. Нам кажется, что произошло это вот по какой причине. Всем известно, что Платон критиковал современных ему математиков за то, что те пользовались определенными механическими орудиями для решения математических задач, в том числе и для построения фигур. Ясно также, какие орудия нужны для выполнения первых трех постулатов Евклида: линейка и циркуль. Естественно поэтому, что приведенные Проклом соображения Спевсиппа против построения как доказательства существования геометрических объектов были восприняты как прямое продолжение возражений Платона, направленных против «использования вспомогательных инструментов». Отсюда возникла и мысль, что Платон и Спевсипп считали геометрические объекты существующими реально от века, подобно вечным и неизменным идеям.

В то же время вывод этот не вытекает непосредственно из наличных свидетельств древних авторов. Более того, утверждение Спевсиппа, что геометрические объекты представляют собой «вечно сущее в становлении», указывает на то, что эти объекты имеют несколько иной онтологический статус, чем идеи. Но, прежде чем внести ясность в этот вопрос, посмотрим, за что Платон критиковал современных ему математиков.

Прикладная и чистая математика. Платон о неприменимости механики в геометрии

Благодаря своей функции посредника между сферами чувственного и идеального бытия математика может выполнять, согласно Платону, две разные задачи: во-первых, служить цели приобщения человека к более высокому — к созерцанию идеи блага — и, во-вторых, быть средством упорядочения и расчленения низшей сферы — текучего и неуловимого становления. Первая ее функция оценивается Платоном неизмеримо выше второй: «При устройстве лагерей, занятии местностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает. — Но для этого было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо, однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага?»

Всякое применение математики к познанию эмпирических явлений оценивается Платоном как ее прикладная функция, и хотя он против этого применения не возражает, но опасается, как бы из-за него не затемнилось и не исказилось понимание самой природы и сущности как математики, так и всей науки вообще. А это «затемнение и искажение», согласно Платону, сказывается в том, что из-за возможности применять математические знания на практике в саму математику вносятся механические методы.

«Кто хоть немного знает толк в геометрии, — говорит Сократ в диалоге «Государство», — не будет оспаривать, что наука эта полностью противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею.

— То есть?

— Они выражаются как-то очень забавно и принужденно. Словно они заняты практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют выражение «построим» четырехугольник, «проведем» линию, «произведем наложение» и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем все это наука, которой занимаются ради познания.

— Разумеется.

— Не оговорить ли нам еще вот что…

— А именно?

— Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет… Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному».

Платон здесь подвергает критике применение механики к решению геометрических проблем. Так, Архит при решении задачи удвоения куба, которая, по свидетельству древних источников, была поставлена как практическая задача удвоения объема делийского жертвенника, применял метод построения, вводя при этом в геометрию механические методы.

Это предположение подтверждается и сообщением Плутарха. «Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий, — пишет Плутарх, — положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, освязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних пропорциональных — необходимая составная часть многих задач, для разрешения которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на основе дуг и сегментов. Но, так как Платон негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, механика полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук, долгое время вовсе не привлекала внимания философов».

Свидетельство Плутарха полностью совпадает с приведенными рассуждениями Платона, что в свою очередь придает б(льшую достоверность самому этому свидетельству. Плутарх, как, впрочем, и сам Платон, хорошо передает атмосферу научной жизни античной Греции, борьбу тенденций в науке, в частности в математике, которая действительно привела к значительному обособлению механики и математики, соединение которых можно наблюдать только в более поздний период, например у Архимеда.

Было бы, однако, не совсем справедливо приписывать одному лишь Платону и его Академии склонность к разделению теоретической и практически-прикладной областей: эта склонность характерна вообще для подавляющего большинства греческих философов, в том числе и для Демокрита, и для Аристотеля, и для Эпикура. Именно это разделение двух сфер привело, с одной стороны, к вычленению науки как некоторого самостоятельного по отношению к практической жизни теоретического образования, органически связанного с философией, какого не было на Востоке. С другой стороны, это разъединение (конечно, всегда относительное, а не абсолютное) обусловило специфический характер древнегреческой науки вообще, а математики в частности, благодаря которому она отличается от науки нового времени — последней свойственна гораздо более интимная связь с «механическими приспособлениями», как выразился Плутарх.

Итак, Платон решительно выступает против внесения в геометрию механических методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с самими идеями и не ставит специально вопроса о их существовании — вопроса, который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус геометрических объектов иной, чем статус идей.

Прокл о воображаемом движении

Платон считал, что предпосылкой существования геометрических объектов является пространство — нечто среднее между чувственными вещами и умопостигаемыми идеями. О нем не может быть достоверного знания, какое получают только посредством ума, но опираясь на него, геометрия «строит» свои объекты.

Однако вопрос этот, видимо, вызывал много споров, поскольку действительно его решение у Платона лишь схематически намечено, но не разработано в деталях. Так, Аристотель постоянно задает Платону и платоникам вопрос, к какому роду бытия принадлежат геометрические объекты в отличие от арифметических и «из чего» они образованы. «…Оказывается необходимым, — пишет Аристотель, — устанавливать еще другой род числа, с которым имеет дело арифметика, и также все то, что у некоторых получает обозначение промежуточных объектов; так вот, эти объекты — как они существуют или из каких образуются начал? а также — почему они будут находиться в промежутке между здешними вещами и числами самими по себе?»

Надо полагать, в платоновской Академии продолжалось обсуждение вопроса о том, как существуют геометрические объекты и из каких «начал» образуются; не удивительно, что этим вопросам уделяют большое внимание неоплатоники, в частности Прокл в своем комментарии к «Началам» Евклида.

Посмотрим, как Прокл пытается ответить на эти вопросы. Сравнивая между собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что, в сущности, оба спорящих правы. Права школа Спевсиппа, «ибо проблемы геометрии — иного рода, чем проблемы механики… Но столь же права и школа Менехма: ибо без вхождения в материю невозможно нахождение теорем, но я имею в виду интеллигибельную материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними».

Платон не пользуется терминами, которые употребляет здесь Прокл: «интеллигибельная материя» и «фантазия». Но то, что названо этими терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя — это ведь гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого — интеллигибельного и чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для пространства. А способность, которой постигается эта «интеллигибельная материя», носит у Прокла название «фантазии».

Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему, смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую фигуру, мы «берем вечно сущее как нечто становящееся». Любой геометрический объект — это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии — это, стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).

Значит, постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой «интеллигибельной материей» — пространством? Мы не знаем, как интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их истолковать так же.

Приведем еще одно разъяснение Прокла. «Возможность провести прямую из любой точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и прямая — равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение. Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны».

Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида: это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления — сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие, чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который движется по доске? Но они — не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка — это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления, в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то место, в каком она движется?

Прокл отвечает на этот вопрос так: «Но если бы у кого-нибудь возникли затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку) — ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком огорчаться… Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении (kЕnhsiV fantastikї); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка) подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное движение».

Таким образом, движение геометрической точки совершается не в умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог, телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной «бумаге» — пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.

Промежуточная способность теперь названа «фантазией», а промежуточное бытие — «интеллигибельной материей». Нам думается, что хотя термины эти принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.

Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему «телесному зрению» те фигуры, которые мы реально «порождаем» в фантазии; чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде «вторых подобий» — так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю, хотя и «интеллигибельную»; а движение стилета по восковой дощечке есть уже чувственное подобие движения точки в фантазии.

Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что геометрический объект — точка — движется в материальном мире. Даже у Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией, какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало возможным совсем новое истолкование математической программы античности.