Родился 28 августа 1934 года в селе Авранло Цалкского района, в семье колхозников. По национальности — грек. Родители, Владимир Афанасьевич и Евлампия Ивановна — труженики сельского хозяйства.
Алексей Ашкалов в 1952 г. окончил Джинисскую среднюю школу, в том же году поступил на факультет технологии продуктов сельского хозяйства Кутаисского сельскохозяйственного института (впоследствии на его базе в Сухуми был открыт институт субтропического хозяйства). Несколько лет работал на Тбилисской табачной фабрике, а с 1961 г. — в Грузинском научно-исследовательском институте пищевой промышленности.
Его привлекал процесс ферментации и сам комплекс ферментов в сельхозпродуктах. Выбрал себе диссертационную тему «Исследование ферментации грузинского табачного сырья в рыхлой массе», выполнил ее без отрыва от производства и защитил в 1967 г. на заседании ученого совета Грузинского института субтропического хозяйства. Ему присуждена ученая степень кандидата технических наук. Имеет свыше 30 научных трудов.
Алексей Ашкалов в 1970 г. был командирован на Кубу, где 3 года принимал участие в организации научно-исследовательской лаборатории и подготовке кадров в эмпрессо «Кубатабакс». Он опубликовал пять статей, посвященных химическому составу кубинского табака, а некоторые его рекомендации нашли признание и практическую реализацию.
Возвратившись с Кубы, продолжил работу в том же институте. Заведует отделом организации внедрения научно-исследовательских разработок, является членом ученого совета. На базе института организовано НПО «Пищеароматкомплекс», где он активно сотрудничает.
Алексей Ашкалов с супругой Деспиной Лаврентьевной владеют русским, грузинским, турецким, испанским языками. Они воспитали, дали образование и выдали замуж двух дочерей — Ингу и Марину, обе врачи.